ZAPATA AISLADA ESQUINERA El siguiente cálculo es el aprendido en clase: Se desea diseñar una zapata aislada esquinera cuadrada con la siguiente información básica:
P
Datos: P = 70 T. Mx = 11 T-m
Ha
B
My = 9 T-m
H
Qa= 20 T/m2
L
F’c (zap) = 210 kg/cm2
L
F’c (col) = 210 kg/cm2 Fy = 4200 kg/cm2 La sección transversal requerida será: A=
𝑷 𝒒𝒂
=
70 𝑇𝑛 20 𝑇𝑛/m2
= 3.5 m2
Las dimensiones aproximadas requeridas serán: b = 1.90 m; L = 1.90 m Las excentricidades de carga son: 𝒆𝒙 =
𝑴𝒚 9 𝑇 − 𝑚 = = 12.86 𝑐𝑚 𝑷 70 𝑇
𝒆𝒚 =
𝑴𝒙 11 𝑇 − 𝑚 = = 15.71 𝑐𝑚 𝑷 70 𝑇
Se verifica si la carga está ubicada en el tercio medio de la cimentación: 𝒆𝒙 < 𝑩/𝟔 12.86 𝑐𝑚 <
190 = 31.66 𝑐𝑚 (𝑶𝑲) 6 𝒆𝒚 < 𝑩/𝟔
15.71 𝑐𝑚 <
190 = 31.66 𝑐𝑚 (𝑶𝑲) 6
Si se supone que el suelo trabaja con un comportamiento elástico, y debido a que la carga se encuentra en el tercio medio de la cimentación, puede aplicarse la siguiente expresión para calcular el esfuerzo máximo en el suelo:
q máx
P 6e x 6e y 1 A b L 𝒒𝒎𝒂𝒙 =
70 6 ∗ 0.1286 6 ∗ 0.1571 [1 + + ] 3.61 1.90 1.90 𝒒𝒎𝒂𝒙 = 36.88 𝑇⁄𝑚2
El esfuerzo máximo (36.88 𝑇⁄ 2 ) es superior al esfuerzo permisible 𝑚 (20 𝑇⁄ 2 ), por lo que se requiere incrementar la sección transversal de 𝑚 cimentación en aproximadamente el 85% (36.88 / 20.00 = 1.85). A = 1.85 (3.61 m2) = 6.7 m2 Las dimensiones aproximadas requeridas serán: b = 2.6 m; L = 2.6 m A = (2.6 2) = 6.76 m2 𝒒𝒎𝒂𝒙 = 19.7 𝑇⁄ 2 (𝑶𝑲) 𝑚
B= 2.6m
Las dimensiones en planta propuestas para el plinto son:
L=2.6m Sección de columna: 50 cm * 50 cm
Diagrama de reacciones del suelo de cimentación bajo cargas últimas: Las solicitaciones últimas son: Pu = 105 T Mux = 18 T-m Muy = 14 T-m Las excentricidades de carga son: 𝒆𝒙 = 𝒆𝒚 =
𝑴𝒚 𝑷
=
14 𝑇 − 𝑚 = 13.33 𝑐𝑚 105 𝑇
𝑴𝒙 18 𝑇 − 𝑚 = = 17.14 𝑐𝑚 𝑷 105 𝑇
La carga está ubicada en el tercio medio de la cimentación, por lo que los cuatro esfuerzos últimos que definen el volumen de reacciones del suelo se pueden calcular mediante las siguientes expresiones:
q1
Pu 6e x 6e y 1 A b L 𝒒𝟏 =
105 6 ∗ 0.1333 6 ∗ 0.1714 [1 + + ] 6.76 2.6 2.6 𝒒𝟏 = 26.45 𝑇⁄𝑚2
q2
Pu 6e x 6e y 1 A b L 𝒒𝟐 =
105 6 ∗ 0.1333 6 ∗ 0.1714 [1 − + ] 6.76 2.6 2.6 𝒒𝟐 = 16.89 𝑇⁄𝑚2
q3
Pu 6e x 6e y 1 A b L 𝒒𝟑 =
105 6 ∗ 0.1333 6 ∗ 0.1714 [1 + − ] 6.76 2.6 2.6
𝒒𝟑 = 14.16 𝑇⁄𝑚2
q4
Pu 6e x 6e y 1 A b L 𝒒𝟒 =
105 6 ∗ 0.1333 6 ∗ 0.1714 [1 − − ] 6.76 2.6 2.6 𝒒𝟒 = 4.61 𝑇⁄𝑚2
Los estados de carga últimos (U = 1.2D + 1.6L) se emplean para calcular el espesor del plinto y el refuerzo requerido, debido a que la capacidad resistente del hormigón y del acero se cuantifica mediante esfuerzos de rotura y esfuerzos de fluencia. Diseño a Cortante Tipo Viga: El peralte de los plintos está definido por su capacidad resistente a cortante tipo viga y a cortante por punzonamiento. Para ambos casos se utilizan los estados de carga últimos. Se asume una altura tentativa de 65 cm. para el plinto, y una distancia desde la cara inferior de hormigón hasta la capa de refuerzo de 7.5 cm, y un diámetro aproximado de las varillas de refuerzo en las dos direcciones del orden de #7 (2.2cm).
La sección crítica al cortante tipo viga se encuentra a 57.5 cm (d) de la cara de la columna en la dirección x y y, en las dos orientaciones básicas, hacia el lado en que están presentes los esfuerzos máximos.
0,575 m
1,525 m
0,5 m 0,575 m
B =2,6 m
0,5 m
1,525 m
L = 2,6 m Diseño en la Dirección x:
q máx
Pu 6e x 1 A b
q mín
Pu 6e x 1 A b
𝒒𝒎𝒂𝒙 =
105 6 ∗ 0.1333 [1 + ] 6.76 2.6
𝒒𝒎𝒂𝒙 = 20.31 𝑇⁄𝑚2
𝒒𝒎𝒊𝒏 =
105 6 ∗ 0.1333 [1 − ] 6.76 2.6
𝒒𝒎𝒊𝒏 = 10.75 𝑇⁄𝑚2
1
0,65 0,5
0,575
1,525 16,36
20,31
10,75
La fuerza cortante que actúa sobre la sección crítica es: 16,36 𝑇⁄ 2 + 10,75 𝑇⁄ 2 𝑚 𝑚 ) ∗ (1,525 𝑚) ∗ (2,6 𝑚) 𝑉𝑢 = ( 2 𝑉𝑢 = 53,75 𝑇𝑛 𝑉𝑛 =
53,75 𝑇𝑛 = 71,66 𝑇𝑛 0,75
El esfuerzo de corte que es capaz de resistir el hormigón es:
𝑉𝑐 =
0,53 ∗ √ 210 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 ∗ 260 𝑐𝑚 ∗ 57,5 𝑐𝑚 1000
= 114,82 𝑇𝑛
El esfuerzo de corte solicitante es inferior a la capacidad resistente del hormigón, por lo que el peralte del plinto es aceptable para la solicitación analizada. 𝑉𝑛 < 𝑉𝑐 (𝑶𝑲)
Diseño en la Dirección y: Los esfuerzos de reacción del suelo sobre el eje centroidal en la dirección y son: 6e y 1 L
q máx
Pu A
q mín
Pu 6e y 1 A L
𝒒𝒎𝒂𝒙 =
105 6 ∗ 0.1714 [1 + ] 6.76 2.6
𝒒𝒎𝒂𝒙 = 21.68 𝑇⁄ 2 𝑚 𝒒𝒎𝒊𝒏 =
105 6 ∗ 0.1714 [1 − ] 6.76 2.6
𝒒𝒎𝒊𝒏 = 9.39 𝑇⁄𝑚2
1
0,65 0,5
0,575
1,525 9,39
16,599
21,68
La fuerza cortante que actúa sobre la sección crítica es: 𝑉𝑢 = (
16,599 𝑇⁄𝑚2 + 9,39 𝑇⁄𝑚2 2
) ∗ (1,525 𝑚) ∗ (2,6 𝑚)
𝑉𝑢 = 51,52 𝑇𝑛
𝑉𝑛 =
55,89 𝑇𝑛 = 68,69 𝑇𝑛 0,75
El esfuerzo de corte que 7es capaz de resistir el hormigón es:
0,53 ∗ √ 210 𝑘𝑔⁄ 2 ∗ 260 𝑐𝑚 ∗ 57,5 𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝑉𝑐 = = 114,82 𝑇𝑛 1000 El esfuerzo de corte solicitante es inferior a la capacidad resistente del hormigón, por lo que el peralte del plinto es aceptable para la solicitación analizada. 𝑉𝑛 < 𝑉𝑐 (𝑶𝑲) Diseño a Cortante por Punzonamiento: La sección crítica a punzonamiento se sitúa alrededor de la columna con una separación de d/2 de sus caras (28,75 cm en la dirección x, y 28,75 cm en la dirección y).
0,5 m 0,2875 m
1,8125 m
B = 2,6 m
0,5 m 0,2875 m 1,8125 m
L = 2,6 m La variación lineal de los esfuerzos de reacción del suelo, y el hecho de que la carga está ubicada en el tercio medio de la cimentación, determina que el promedio de todos los esfuerzos del suelo de cualquier sección cuyo centroide coincida con el centroide del plinto, sea el esfuerzo centroidal.
𝒒 ̅=
𝑃𝑢 105 𝑇𝑛 = 𝐴 (2,6 𝑚)2
𝒒 ̅ = 15,53
𝑇𝑛 𝑚2
La fuerza cortante que actúa sobre la sección crítica es: 𝑽𝒖 = (15,53 𝑇⁄𝑚2 ) ∗ [(2,6 𝑚)2 − (0,7875 𝑚)2 ] 𝑽𝒖 = 95,35 𝑇 𝑽𝒏 =
95,35 𝑇𝑛 = 127,14 𝑇𝑛 0,75
El esfuerzo de corte que es capaz de resistir el hormigón es: 4 𝒗𝒄 = 𝟎, 𝟐𝟕 ∗ (𝟐 + ) ∗ √𝒇′𝒄 𝛽 𝒗𝒄 = 𝟎, 𝟐𝟕 ∗ (𝟐 +
𝛼𝑠 ∗ 𝑑 ) ∗ √𝒇′𝒄 𝑏𝑜
𝒗𝒄 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∗ √𝒇′𝒄
Donde:
𝜷=
50 𝑐𝑚 50 𝑐𝑚
=1
𝜶𝒔 = 20 (𝑍𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑒𝑟𝑎) 𝒅 = 57,5 𝑐𝑚 𝒃𝒐 = (50 + 28,75)𝑐𝑚 ∗ 2 = 157,5 𝑐𝑚 𝒗𝒄 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∗ √𝒇′𝒄 𝑽𝒄 = 1,06 ∗ √210 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 ∗ 157,5 𝑐𝑚 ∗ 57,5 𝑐𝑚 𝑽𝒄 = 139,11 𝑇 𝑉𝑛 < 𝑉𝑐 (𝑶𝑲)
Se escoge el menor
Diseño a Flexión: Las secciones críticas de diseño a flexión en las dos direcciones principales se ubican en las caras de la columna.
0,5 m
2,1m
2,1 m
Sección critica
B=
0,5 m
Sección critica
L = 2,6 m Diseño a Flexión en la Dirección x-y (Zapata cuadrada): El refuerzo requerido por flexión será mayor en la franja en que se encuentra el máximo esfuerzo espacial de reacción del suelo (q1 q2).
1
0,65 0,5 m
2,1 m 16,89
26,45
24,61
Para un ancho de diseño de 1 m, se tiene la siguiente expresión para calcular el momento flector en la zona crítica, que subdivide la carga trapezoidal en una carga rectangular de ordenada 24,61 tn/m2, más una carga triangular de ordenada máxima 7,72 Tn/m2 (24,61 – 16,89 = 7,72): (24.61 𝑇𝑛⁄𝑚2 ) ∗ (2,1 𝑚)2 (7,72 𝑇𝑛⁄𝑚2 ) ∗ (2,1 𝑚 ) 1 ) ∗ ( ∗ (2,1𝑚))] (2,60 𝑚) 𝑴𝑼 = [ +( 2 2 3
𝑴𝑼 = 155,84 𝑇𝑛 − 𝑚 𝑴𝒏 =
155,84 𝑇𝑛 − 𝑚 = 173,16 𝑇𝑛 − 𝑚 0,9 𝑹𝒖 =
𝑹𝒖 =
𝑴𝒏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝒃 ∗ 𝒅𝟐
(173,16 𝑇𝑛 − 𝑚) ∗ 105 260 𝑐𝑚 ∗ (57,5
𝝆=
𝑐𝑚)2
= 20,14 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2
𝟎, 𝟖𝟓 ∗ 𝒇′𝒄 𝟐. 𝟑𝟔 ∗ 𝑹𝒖 [𝟏 − √𝟏 − ] 𝒇𝒚 𝒇′𝒄
0,85 ∗ 210 𝑘𝑔⁄ 2 2.36 ∗ (24,94 𝑘𝑔⁄ 2 ) 𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝝆= 1 − √1 − 4200 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 210 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 [ ] 𝝆 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟏 La cuantía mínima de armado a flexión es: 𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑; 𝑓𝑦 = 4200
𝑘𝑔 ⁄𝑐𝑚2
La cuantía máxima es: 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕 La sección de acero requerida, en la dirección x-y, para resistir el momento último en el ancho total de la zapata es: 𝑨𝑺 = 𝝆 ∗ 𝒃 ∗ 𝒅 𝑨𝑺 = 0.0051 ∗ 260 ∗ 57,5 = 76,52𝑐𝑚2 #=
𝑨𝑺 𝑨∅
#=
76,52 𝑐𝑚2 = 𝟐𝟎 3,88 𝑐𝑚2
𝑺𝒆𝒑 = 𝑺𝒆𝒑 =
𝑩−𝟐∗𝒓 (# − 𝟏)
260 𝑐𝑚 − 2 ∗ (7,5 𝑐𝑚) = 13𝑐𝑚 (20 − 1) 𝟏 ∅ #𝟕𝒄⁄𝟏𝟑 𝒄𝒎
Se puede colocar 1 varilla #7 orientada en la (dirección X) y en la (dirección Y) cada 13 cm, proporcionándose un armado de 76,52 cm2 por todo el ancho de la zapata (2,6m), lo que es equivalente a colocar 20 varillas #7 de diámetro orientadas en la dirección X y Y. Los diagramas completos de la parrilla de armado por flexión son los siguientes:
1 φ #7 c/13 cm
2,6 m
13 13 13 13 13 13 13 13 13 131313 13 13 13 13
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
1 φ #7 c/13 cm
L = 2,6 m
1 1 φ #7 c/13 cm
0,575
0,65 0,075
2,6 m
1 φ #7 c/13 cm
Analisis de la misma zapata esquinera con el programa ZIC. Se ingreso los valores necesarios para el calculo de la zapata. Primero se escogio el tipo de zapata deseada: El cual fue “Excentrica”
Figura 1. Tipo de zapata
Luego se procedió a definir la geometría de la zapata, especificadas en la figura. 2.
Figura 2. Geometría de zapata
Se definieron las cargas muertas y vivas, con sus momentos correspondientes al sentido de dirección.
Cortante en sentido X Cortante en sentido Y Carga de servicio Momento alrededor del eje Y Momento alrededor del eje X
Carga muerta Carga viva Carga sismica Carga eolica viva Carga Carga viva
Figura 3. Cargas actuantes en la zapata
Se definieron la combinación de carga del ACI. 318-11: 1.2D + 1.6L
Figura 4. Combinaciones de carga.
Luego se definieron las propiedades del material de la zapata y del pedestal, como se puede apreciar en la siguiente figura 5.
Figura 5. Propiedades de materiales
Se define además la posición de la zapata:
Figura 6. Posición de zapata.
Al finalizar la definición de todos los parámetros requeridos para que el programa analice, y proporcione los resultados correspondientes, se corre el programa.
Figura 7. Correr el programa.
Al correr el programa, el mismo proporciono un mensaje de error, y por ende no analizo la zapata.
Figura 8. Mensaje de error.
Conclusión: No se pudo comparar la zapata esquinera analizada con los cálculos aprendidos en clase y el programa ZIC por que, el mismo no respondió ni analizo la zapata, cerrándose el programa al hacer clic en Aceptar.
