1. TÉMA - HALMAZOK 1. Adottak a következő halmazok: A={2, 4, 6, 8, 10, 12} B={4, 8, 12, 16, 20, 24} C={6, 12, 18, 24, 30} Végezd el a következő műveleteket: a) A ∩ B b) B ∪ C c) B \ C = d) B ∪ ( A∩C) e) Ábrázold Venn-diagram segítségévével a halmazokat KIDOLGOZÁS A={2, 4, 6, 8, 10, 12} B={4, 8, 12, 16, 20, 24} C={6, 12, 18, 24, 30} a) A ∩ B = {4, 8, 12} b) B ∪ C = {4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 30} c) B \ C = {4, 8, 16, 20} A={2, 4, 6, 8, 10, 12} B={4, 8, 12, 16, 20, 24} C={6, 12, 18, 24, 30} d) B ∪ ( A∩C) = {4, 8, 12, 16, 20, 24} ∪ {6, 12} = {4, 6, 8, 12, 16, 20, 24} e) Ábrázold Venn-diagram segítségévével a halmazokat A={2, 4, 6, 8, 10, 12} B={4, 8, 12, 16, 20, 24} C={6, 12, 18, 24, 30} 2. feladat: Adottak a következő halmazok A={x x∈N, x≤10} A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B={x x∈N, x≤12, x páros szám} B={2, 4, 6, 8, 10, 12} C={x x∈N, 6≤x<12} C={6, 7, 8, 9, 10, 11} Írd fel a következő halmaz elemeit: A ∩ (B∪C) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}= {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
2. TÉMA - SZÁMKIFEJEZÉSEK 1. Számítsd ki a következő számkifejezések értékét: a) 458 + 3 ⋅ 105 = 458 + 315 = 773 b) 1972 :4 – 399 = 493 – 399 = 94 c) 12 ⋅ (345 – 256) + 987 = 12 ⋅ 89 + 987 = 1068 + 987 = 2055 2. FELADAT: Ha a=128, b=8, c=15 számítsd ki: a) a – b = 128 – 8 = 120 c) a : b – c = 128 : 8 – 15 = 16 – 15 = 1
b) a ⋅ c = 128 ⋅ 15 = 1920 d) a – b ⋅ c = 128 – 8 ⋅ 15 = 128 – 120 = 8
3. TÉMA: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK 1. Határozd meg az ábrán látható ABCD négyszög és K kör a) metszetét b) unióját c) a kör és a négyszög különbségét. Mindegyik esetet rajzolt le külön-kölön
K
C
D
A
D
A
B
D
A
B K
C
B
2. a) Rajzold meg a K(O,2,5 cm) kört, jelöld meg sugarát, átmérőjét, CD húrját b) Határozd meg, hogy milyen kölcsönös helyzetben van a K(O,4 cm) kör és egy egyenes, melynek az O középponttól való távolsága d=0 cm
K átmérő O
K
C
D
A
B
p
A
K
d =0 cm • r =4 cm
D
C
K
C
O B d < r – az egyenes metszi a kört az AB szakasz mentén
4. TÉMA: OSZTHATÓSÁG
1. Állapítsd meg a következő állítások helyességét: a) 100 | 15200 a) b) c)
b) 3 | 192837465 c) 4 | 15156 100 | 15200 – T mert a 15200 végén van 2 nulla 3 | 192837465 – T mert a számjegyek összege 45 (1+9+2+8+3+7+4+6+5=45) és az osztható 3-mal 4 | 15156 – T mert a két utolsó számjegy 56 és az osztható 4-gyel
2. Osztással ellenőrizd le a következő oszthatóságokat: a) 7 I 14106 b) 14 I 51852 a) 7 I 14106 ⊥ mert van maradék (M=1) b) 14 I 51852 ⊥ mert van maradék (M=10)
-
1
4
1
4
1
0
6
:
7
=
2
0
1
5 -
0
5
1
4
2 9
8
-
9
8
1
-
0 1
0
-
8
0
7
-
3
6
-
3
5
M
=
1
M
3. Bontsd fel a következő számokat tényezőire: a) 36 36
2
840
2
18
2
420
2
9
3
210
2
3
3
105
3
35
5
7
7
1
5
2
:
1
4
5 0 5
2
-
4
2
=
1
0
b) 840
1 36=2*2*3*3
840=2*2*2*3*5*7
4. Határozd meg a következő számok legnagyobb közös osztóját (LKO)
a) 40, 30
b) 120, 180, 300
40
30
2
120
180
300
2
20
15
5
60
90
150
2
4
3
30
45
75
3
10
15
25
5
2
3
5
LKO (40,30) = 2*5 = 10
LKO (120,180,300) = = 2*2*3*5 = 10*6=60
5. Határozd meg a következő számok legkisebb közös többszörösét (LKT)
a) 9, 12
b) 40, 60, 90
9
12
2
40
60
90
2
9 9
6 3
2 3
20 10
30 15
45 45
2 2
3 1
1
3
5 5
15 5
45 15
3 3
5 1
5 1
5 1
5
LKT (9,12) = 2*2*3*3 = 36
LKT (40,60,90) = = 2*2*2*3*3*5 = = 10*4*9=360
=
3
7
0
3
5. TÉMA: SZÖGEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA, SZORZÁSA, OSZTÁSA 1. Adottak a következő szögek: α=155° 37' 27" β=87° 48' 50" Számítsd ki: a) α+β b) α–β c) 3⋅α e) α:3 f) β:5 g) 2⋅α + 4⋅β
d) 5⋅β h) 4⋅α – β:2
KIDOLGOZÁS 1. Adottak a következő szögek: α=155° 37' 27" β=87° 48' 50" a) α+β = 155° 37' 27" + 87° 48' 50" = 243° 26' 17" b) α–β = 155° 37' 27" – 87° 48' 50" = 67° 48' 37" c) 3⋅α = 155° 37' 27" ⋅ 3 = 466° 52' 21" = 106° 52' 21" d) 5⋅β = 87° 48' 50" ⋅ 5 = 439° 4' 10" = 79° 4' 10" e) α : 3 = 155° 37' 27" : 3 = 51° 52' 29" f) β : 5 = 87° 48' 50" : 5 = 17° 33' 46" g) 2⋅α + 4⋅β = 155° 37' 27" ⋅ 2 + 87° 48' 50" ⋅ 4 = 311° 14' 54" + 351° 15' 20" = 662° 30' 14" = 302° 30' 14" h) 4⋅α – β:2 = 155° 37' 27" ⋅ 4 + 87° 48' 50" : 2 = 622° 29' 48" – 43° 54' 25" = 578° 35' 23" = 218° 35' 23"
2. Szögmérő segítségével rajzold meg a következő szögeket, majd szerkeszd meg a pótszögét: 22°, 74°
3. Szögmérő segítségével rajzold meg a következő szögeket, majd szerkeszd meg a kiegészítő szögét: 91°, 158°
4. Szögmérő segítségével rajzold meg a következő szögeket: α=55°, β=143°. γ=265°
Szerkeszd meg a következő szögeket:
Ellenőrzés: a) α + β = 55°+ 143°= 198°
a) α + β
b) β - α
c) α + γ
d) γ - β
b) β - α = 143° - 55° = 88°
c) α + γ = 55°+ 265°= 320°
d) γ - β = 265° - 143° = 122°
6. TÉMA: TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA I. Azonos nevezőjű törtek összeadása és kivonása Azonos nevezőjű törteket úgy adunk össze (vonunk ki), hogy 2 3 5 nevezőt lemásoljuk a) + = 7 7 7 számlálókat összeadjuk (kivonjuk)
b)
9 4 5 − = 11 11 11
c)
11 13 26 11 + = =1 15 15 15 15
d)
5 7 12 44 1 + = = 1 =1 8 8 8 8 2
A műveletek elvégzése után 2 dolgok kell minden alkalommal leellenőrizni: a kapott eredmény áltört-e (ha igen, át kell alakítani vegyes törté) a kapott eredmény egyszerűsíthető-e (ha igen, akkor egyszerűsítjük egészen addig, amíg lehet) II. Egy egész szám és egy tört összeadása és kivonása Egy egész számot és egy törtet úgy adunk össze, hogy egyszerűen csak vegyes törtet alkotunk belőlük
a) 5 +
3 3 =5 7 7
b) 1 +
4 4 =1 11 11
Egy természetes számot és egy törte úgy vonunk ki, hogy a természetes számot átalakítjuk törté, majd kibővítve a tört nevezőjére az I. típus alapján kivonjuk Bármely természetes számot úgy alakítjuk át törté, hogy nevezőnek aláírunk egy 1-et. a) 2 = A természetes számokat osztással is át alakíthatjuk törté: a) 2 =
2 4 6 8 = = = = ... 1 2 3 4
2 1
b) 5 =
b) 1 =
1 1
c) 99 =
99 1
5 10 15 20 = = = = ... 1 2 3 4
Példák egy természetes szám és egy tört kivonására:
3 2 3 10 3 7 2 a) 2 − = − = − = = 1 5 1 5 5 5 5 5
b) 1 −
4 1 4 11 4 7 = − = − = 11 1 11 11 11 11
Erre a példára visszatérünk, amikor átvesszük a vegyes törtekkel való műveleteket is. III. Vegyes törtek összeadása és kivonása Két vegyes törtet úgy adunk össze (vonunk ki), hogy külön összeadjuk (kivonjuk) az egész részeket és külön a tört részeket. Kivonás esetén ügyelni kell arra, hogy a kisebbítendő tört része nagyobb legyen mint a kivonandó tört része. Összeadás:
3 2 5 3 2 5 a) 2 + 4 = 6 b) 5 + 2 = 7 = 8 7 7 7 5 5 5 9 7 16 5 5 9 5 14 6 62 3 c) 2 + 9 = 11 = 11 + 1 = 12 d) 1 + 3 = 4 = 4 + 1 = 5 = 5 11 11 11 11 11 8 8 8 8 8 4
Kivonás:
5 4 1 11 3 8 8 1 a) 2 − 1 = 1 b) 5 − 3 = 2 = 2 9 9 9 16 16 16 2 2 4 7 2 4 9 4 5 8 11 15 8 11 23 11 12 3 3 c) 5 − 2 = 4 + + − 2 = 4 − 2 = 2 d) 15 − 3 = 14 + + − 3 = 14 − 3 = 11 =11 7 7 7 7 7 7 7 7 15 15 15 15 15 15 15 15 5
Vegyes törteket úgy is ki tudunk vonni, hogy átalakítjuk áltörtté őket és úgy végezzük el a kivonást 5 4 23 13 10 1 a) 2 − 1 = − = =1 9 9 9 9 9 9 2 4 37 18 19 5 c) 5 − 2 = − = =2 7 7 7 7 7 7
11 3 91 51 40 8 8 1 −3 = − = = 2 =2 16 16 16 16 16 16 8 8 11 233 56 177 12 3 4 d) 15 − 3 = − = = 11 = 11 15 15 15 15 15 15 5
b) 5
Javaslat: kis nevezők és egész rész esetén érdemes áltörtként számolni, nagy számok esetén pedig mint vegyes tört. Ezzel a módszerrel próbáljuk megoldani a már átvett II. típus: 3 5 3 2 a) 2 − = 1 − 0 = 1 5 5 5 5
b) 8 −
4 11 4 7 = 7 −0 = 7 11 11 11 11
IV. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása Különböző nevezőjű törteket úgy adunk össze (vonunk ki), hogy először is közös nevezőre hozzuk őket (LKT) majd az I. módszer szerint elvégezzük a műveletet 3 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 4 15 12 27 7 + = + = + = =1 4 5 4 ⋅ 5 5 ⋅ 4 20 20 20 20 LKT(4,5) = 20
9 5 9 ⋅ 3 5 ⋅ 5 27 25 2 2 1 − = − = − = = 10 6 10 ⋅ 3 6 ⋅ 5 30 30 30 15 LKT(10,6) = 30
a)
b)
5 5 5 ⋅ 2 5 ⋅ 3 10 15 25 1 + = + = + = =1 12 8 12 ⋅ 2 8 ⋅ 3 24 24 24 24 LKT(12,8) = 24
3 7 3 ⋅ 4 7 ⋅1 12 7 5 51 b) − = − = = = − 5 20 5 ⋅ 4 20 ⋅ 1 20 20 20 4 LKT(20,5) = 30
c)
V. Különböző nevezőjű vegyes törtek összeadása és kivonása Különböző nevezőjű vegyes törteket úgy aduk össze, hogy összeadjuk külön-külön az egész részeket valamint a közös nevezőre hozott tört részeket. 5 4 5 4 5⋅3 4⋅2 15 8 23 5 5 a) 2 + 4 = 2 + 4 + + = 6 + + =6+ + =6+ = 6 +1 = 7 6 9 6 9 6⋅3 9⋅2 18 18 18 18 18 LKT(6,9) = 18 7 11 7 ⋅ 3 11 ⋅ 2 21 22 43 19 19 b) 1 + 8 = 1 + 8 + + =9+ + =9+ = 9 + 1 = 10 8 12 8 ⋅ 3 12 ⋅ 2 24 24 24 24 24 LKT(8,12) = 24
Különböző nevezőjű vegyes törteket úgy vonunk ki, hogy külön-külön kivonjuk az az egész részeket valamint a közös nevezőre hozott tört részeket. A közös nevező meghatározása után ha a kisebbítendő tört része kisebb mind a kivonandó tört része, akkor átalakítjuk a III. típusnál használt módszerrel. 3 1 3 ⋅ 3 1⋅ 2 9 2 7 2 5 2⋅3 5 ⋅1 6 5 1 a) 2 − 1 = 2 −1 = 2 −1 = 1 b) 5 − 2 = 5 −2 =5 −2 =3 4 6 4⋅3 6⋅ 2 12 12 12 3 9 3⋅3 9 ⋅1 9 9 9 LKT(4,6) = 12 LKT(3,9) = 9 1 3 1⋅ 2 3 ⋅1 2 3 4 2 3 6 3 3 c) 5 − = 5 −0 =5 −0 = 4+ + −0 = 4 −0 = 4 2 4 2⋅2 4 ⋅1 4 4 4 4 4 4 4 4 LKT(2,4) = 4 5 7 5⋅5 7⋅4 25 28 40 25 28 65 28 37 d) 6 − 2 = 6 −2 =6 −2 =5+ + −2 =5 −2 =3 8 10 8⋅5 10 ⋅ 4 40 40 40 40 40 40 40 40 LKT(8,10) = 40
Különböző nevezőjű vegyes törteket úgy is össze tudunk adni (ki tudunk vonni), hogy átalakítjuk áltörtté és az IV. típus szerint elvégezzük a műveletet. ÖSSZEADÁS KIVONÁS 3 1 11 7 11 ⋅ 3 7 ⋅ 2 33 14 19 7 a) 2 − 1 = − = − = − = =1 4 6 4 6 4 ⋅ 3 6 ⋅ 2 12 12 12 12 LKT(4,6) = 12 2 5 17 23 17 ⋅ 3 23 ⋅1 51 23 28 1 b) 5 − 2 = − = − = − = =3 3 9 3 9 3⋅3 9 ⋅1 9 9 9 9 LKT(3,9) = 9 1 3 11 3 11 ⋅ 2 3 ⋅1 22 3 19 3 c) 5 − = − = − = − = =4 2 4 2 4 2 ⋅ 2 4 ⋅1 4 4 4 4 LKT(2,4) = 4 5 7 53 27 53 ⋅ 5 27 ⋅ 4 265 108 157 37 d) 6 − 2 = − = − = − = =3 8 10 8 10 8 ⋅ 5 10 ⋅ 4 40 40 40 40 LKT(8,10) = 40
5 4 17 40 17 ⋅ 3 40 ⋅ 2 51 80 133 7 a) 2 + 4 = + = + = + = =7 6 9 6 9 6 ⋅ 3 9 ⋅ 2 18 18 18 18 LKT(6,9) = 18 7 11 15 107 15 ⋅ 3 107 ⋅ 2 45 214 259 19 b) 1 + 8 = + = + = + = = 10 8 12 8 12 8 ⋅ 3 12 ⋅ 2 24 24 24 24 LKT(8,12) = 24
Törtek összeadása és kivonása 11 5 6 11 7 18 6 6 1 1 1 1) − = 2) + = = 1 =1 3) 2 + 5 = 7 17 17 17 12 12 12 12 2 5 5 2 7 2 5 2 8 10 5 2 4) 6 − 1 = 5 − 1 = 4 5) 6 + 4 = 10 = 10 7 7 7 7 15 15 15 3 6)
9 3 9 3⋅2 9 6 15 5 5 1 + = + = + = = 1 =1 10 5 10 5⋅2 10 10 10 10 2
7)
LKT(10,5) = 10
11 3 11⋅2 3⋅3 22 9 13 − = − = − = 12 8 12⋅2 8⋅3 24 24 24
LKT(12,8) = 24 ⋅3
⋅2
5 8 5 8 15 16 31 13 13 8) 2 + 6 = 2 + 6 = 2 + 6 = 8 = 8 +1 = 9 6 9 6⋅3 9⋅2 18 18 18 18 18 LKT(6,9) = 18 3 5 3⋅3 5⋅4 9 20 24 9 20 33 20 13 9) 10 − 3 = 10 − 3 = 10 − 3 = 9 + −3 = 9 −3 = 6 8 6 8⋅3 6⋅4 24 24 24 24 24 24 24 24 LKT(8,6) = 24
7. TÉMA: TÖRTEK SZORZÁSA ÉS OSZTÁSA 1. FELADAT (TÖRTEK SZORZÁSA) 1 5 21 5 i) 2 ⋅ 2 = ⋅ = = 5 2 1 12 1
b)
7 7 81 7 1 ⋅8 = ⋅ = =2 24 3 3 3 24 1
3 3 119 2211 1 ⋅11 11 1 d) 4 ⋅ 1 = ⋅ = = =5 4 19 2 4 191 2 ⋅1 2 2
1
e)
c) 26 ⋅ 1
4 2 26 4 8 2 = ⋅ = =2 39 1 393 3 3
32 31 21 155 1 ⋅1 ⋅1 ⋅1 1 ⋅ ⋅ ⋅ = = 25 8 9 16 5 ⋅ 2 ⋅1 ⋅1 10 5 42 31 1 2
2. FELADAT (TIZEDESES SZÁMOK SZORZÁSA) a) 15 ⋅ 1,9 b) 5,45 ⋅ 2,7 d) 1250 ⋅ 1,05 e) 84,689 ⋅ 7,98
c) 0,032 ⋅ 1,25 f) 1,23456 ⋅ 2,95
3. FELADAT (TIZEDESES SZÁMOK SZORZÁSA TIZES EGYSÉGEKKEL) a) 5,95 ⋅ 10 b) 15,1 ⋅ 100 c) 0,001252 ⋅ 10000 d) 15,03 ⋅ 0,1 e) 5,005 ⋅ 0,001 f) 2509,45 ⋅ 0,000001
4. FELADAT (TÖRTEK OSZTÁSA) a)
8 1 8 71 8 ⋅ 1 8 2 : = ⋅ = = =2 21 7 3 21 1 3 ⋅ 1 3 3
6 20 15 4 20 1 4 ⋅1 4 c) 2 : 15 = : = ⋅ = = 7 7 1 7 153 7 ⋅ 3 21 e)
17 34 117 455 1 ⋅ 5 5 1 : = ⋅ = = =1 18 45 218 34 2 2 ⋅ 2 4 4
5. FELADAT – OLDD MEG AZ EMELETES TÖRTET b) 9 :
27 1 9 20 1 ⋅ 20 20 2 = ⋅ = = =6 20 1 27 3 1 ⋅ 3 3 3
d)
4 4 1 4 155 1 ⋅ 5 5 2 : = ⋅ = = =1 9 15 3 9 41 3 ⋅ 1 3 3
f)
33 44 3 33 855 3 ⋅ 5 15 7 : = ⋅ = = =1 34 85 2 34 44 4 2⋅4 8 8
6. FELADAT (TIZEDESES SZÁMOK OSZTÁSA) a) 159 : 8= b) 4,14 : 3 = d) 6,95 : 0,5 = e) 1,225 : 0,07 =
c) 65,1852 : 12 = f) 13,621059 : 0,15 =
7. FELADAT (TIZEDESES SZÁMOK OSZTÁSA TIZES EGYSÉGEKKEL) a) 128 : 10= b) 45,29 : 1000= c) 1,059 : 100000= d) 2016 : 0,1= e) 459,2 : 0,01= f) 0,025 : 0,0001=
1 16 1 16 ⋅ 153 3 1 5 a) = 5 = = =1 2 32 1 5 ⋅ 322 2 5 2 15 15 3 9 17 3 ⋅ 17 51 1 2 9 17 ⋅ 4 ⋅5 ⋅ 17 51 ⋅ 42 17 ⋅ 2 34 7 2 31 2 3 2 3 b) = = = 2 ⋅1 = 2 = = = =3 3 27 27 27 27 1 2 ⋅ 279 1 ⋅ 9 9 9 6 4 4 4 4 4 3
8. TÉMA: TENGELYES SZIMMETRIA 1. Szerkeszd meg az ABC ∆ szimmetrikus képét az s egyeneshez viszonyítva: 2. Az AB=7 cm hosszúságú szakaszt oszd fel 4 egyenlő részre (Először felosztjuk 2 részre majd a kapott részeket még elfelezzük) 3. Oszd fel 4 egyenlő részre a 270°-os szöget! Segítség: A 180° és 360° között részt (lila félkör) felezzük el, és akkor megkapjuk a 270°-os szöget (zöld körív - s). Ezt először elfelezzük (s1) majd a kapott félszögeket külön-külön még elfelezzük (s2 és s3).
9. TÉMA: EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK 3 5 =1 8 6 1 2 2) x + 1 = 2 2 3 5 1 3) ⋅ x = 1 6 24
1) x −
5 4 =4 12 5 7 3 5) 1 : x = 1 8 32 4 2 11 6) ⋅ x − 1 = 9 9 27 4) x :
7) 1,5 + x = 5,18 8) 7,8 − x = 5,55 9) 0,5 ⋅ x = 24,49 10) 9,58 : x = 0,1 11) 6,3 : x + 0,75 = 1,65
1 7 12) 1 − x > 6 10 3 5 13) x + > 4 6 1 5 14) 1 ⋅ x < 4 8
17) 4,59 + x > 10,4
1 1 15) x : 1 < 2 12 5 13 1 16) 1 : x > 1 20 10
18) 18,7 − x < 12,99 19) 0,3 ⋅ x > 0,1926 20) 9,872 : x < 0,8
Kidolgozás: 5 - 2 = 3 3 5 1) x − = 1 8 6 3 5 x = +1 8 6 LKT(8,6) = 24 x=
3⋅3 5⋅4 +1 8⋅3 6⋅4
2 + 3= 5
2 ⋅ 3 =6
6 : 3 =2
6 : 2 =3
1 2 2) x + 1 = 2 2 3 2 1 x = 2 −1 3 2 LKT(2,3) = 6
5 1 3) ⋅ x = 1 6 24 1 5 x =1 : 24 6 25 5 x= : 24 6 5 25 61 x= ⋅ 4 24 51
5 4 4) x : = 4 12 5 5 4 x = ⋅4 12 5 1 5 24 2 x= ⋅ 51 112
7 3 5) 1 : x = 1 8 32 7 3 x = 1 :1 8 32 15 35 x= : 8 32 3 15 32 4 x= ⋅ 357 18
x=2
2⋅2 1⋅3 −1 3⋅2 2⋅3
4 3 x = 2 −1 6 6 1 x =1 6
9 20 +1 24 24 29 x =1 24 5 x = 1+1 24 5 x=2 24 2 +3 = 5 7) 1,5 + x = 5,18
5 − 2 = 3 8) 7,8 − x = 5,55
x = 5,18 − 1,5
x = 7,8 − 5,55
x = 3,68
x = 2,25
x=
5,18
7,80
+ 1,50
− 5,55
3,68
2,25
5 x= 4 1 x =1 4
2⋅3 = 6 9) 0,5 ⋅ x = 24,49 x = 24,49 : 0,5 x = 24,49 : 5 x = 4,898
2 1 x=2 x=
24,49 : 5 = 4,898 − 20 44 - 40 49 - 45 12) 40 - 40 0
12 7 5 x =1 7 x=
5 - 2 = 3 4 2 11 6) ⋅ x − 1 = 9 9 27 4 2 11 ⋅ x =1 + 9 9 27 LKT(9,27) = 27 4 2⋅3 11⋅1 ⋅ x =1 + 9 9⋅3 27⋅1 4 6 11 ⋅ x =1 + 9 27 27 4 17 ⋅ x =1 9 27
6: 3 = 2 10) 9,58 : x = 0,1
11) 6,3 : x + 0,75 = 1,65
x = 9,58 : 0,1
6,3 : x = 1,65 - 0,75
x = 95,8 : 1
1,65 + 0,75
x = 95,8
5 + 3 = 2
2⋅3 = 6 4 17 ⋅ x =1 9 24 17 4 x =1 : 27 9 44 4 x= : 27 9 11 44 91 ⋅ x= 27 41 3 11 3 2 x =3 3
x=
6: 3 = 2 6,3 : x = 0,9 x = 6,3 : 0,9 x = 63 : 9 x =7
0,90
0
6,3 : x = 0,9
1
2
5 - 2 = 3 1 7 12) 1 − x > 6 10 7 7 x< − 6 10 LKT(6,10) = 30 x<
7⋅5 7⋅3 − 6⋅5 103
35 21 − 30 30 14:2 x< 30:2 x<
x<
7 15 6 : 3 =2
1 1 15) x : 1 < 2 5 12 1 1 x <1 ⋅2 5 12 1 6 255 x< ⋅ 1 5 12 2 x<
1 5 14) 1 ⋅ x < 4 8 5 1 x < :1 8 4 5 5 x< : 8 4 1 5 41 x< ⋅ 2 8 51
3 5 > 4 6 5 3 x> − 6 4 LKT(6,4) = 12
13) x +
5⋅2 3⋅3 x> − 6⋅2 4⋅3 10 9 − 12 12 1 x> 12 x>
x<
13 1 :x >1 20 10 13 1 x < 1 :1 20 10 33 11 x< : 20 10 3 33 101 x< ⋅ 2 20 111
16) 1
1 2
5 − 2 = 3
13)
0
1
2
1
0
x > 10,4 − 4,59
16)
0
10,40
2
1
− 4,59 5,81
3 2 1 x <1 2⋅ 3= 6 2 19) 0,3 ⋅ x > 0,1926
x<
17)
x > 1,926 : 3
x > 9,872 : 0,8
x > 0,642
x > 98,72 : 8
1,926 : 3 = 0,642
x > 12,34 98,72 : 8 = 12,34
−0
1
0
x > 5,71
6
5
4
3
2
18)
1
0
2
3
6
5
4
19)
0
−8
19
2
1
18
- 18
- 16
12
20)
27
- 12
0
- 24
06
32
-6
- 32
0
0
10. TÉMA: SZÁZALÉK 9
1. Számítsd ki a 450-nek a 18%-át
450 ⋅ 18% =
2. A következő törteket alakítsd át százalékra: 3 20 60 a) = = 60% 5 100 3 10 30 b) = = 30% 10 100 3 125 375 37,5 c) = = = 37,5% 8 1000 100
450 18 9 ⋅ 189 ⋅ = = 9 ⋅ 9 = 81 1 1002 21
3 3 3 3 3 a) , b) , c) , d) , e) , 5 10 8 25 250
3 4 12 = = 12% 25 100 3 4 12 1,2 e) = = = 1,2% 250 1000 100 d)
3.* Melyik számnak a 15%-a 150? (Keressük azt a számot, melynek a 15% = 150) x ⋅15% = 150 3⋅ 2 = 6 15 150 = x⋅ 100 1 150 15 x= : 1 100
3
2
x > 5,81
6: 3 = 2 20) 9,872 : x < 0,8
5,71
2
15)
x > 0,1926 : 0,3
18,70 − 12,99
1
1 2
x > 18,7 − 12,99
18) 18,7 − x < 12,99
0
14)
2 +3 = 5 17) 4,59 + x > 10,4
6 : 2 =3
5 2
x<2
2 ⋅ 3 =6
2 + 3= 5
10
x=
150 100 ⋅ 1 151
1000 1 x = 1000 Az 1000-nek a 15%-a a 150. x=
1
. . .
12
13
4. Az osztályban 13 fiú és 12 lány van. Fejezd ki a fiúk és a lányok számát százalékban. 13 4 52 = = 52% 25 100 4 12 48 L: = = 48% 25 100
Fiúk száma: 13 Lányok száma: 12 Össz tanulók száma: 13+12=25
F:
Az osztály 52%-a fiú, míg 48 %-a lány. (Ellenőrzés: 52%+48%=100%) 5. Pistikének van 50 üveggolyója, 19 piros, 7 sárga, a többi zöld. Fejezd ki a golyók számát százalékban. 19 2 38 = = 38% 50 100 7 2 14 S: = = 14% 50 100
Piros: 19 Sárga: 7 Zöld: 50 – (19+7)= 50-26=24
P:
Z:
24 2 48 = = 48% 50 100
Ellenőrzés: 38%+14%+48%=100% 6. Egy cipő ára 4000 dinár. Mennyibe kerül 8%-os drágulás után? drágulás – százalék 100+x 4000 ⋅108% =
4000 108 ⋅ = 40 ⋅108 = 4320 A cipő 8%-os drágulás után 4320 dinárba kerül. 1 100
7. Egy cipő ára 6000 dinár. Mennyibe kerül 10%-os engedmény után? engedmény – százalék 100-x 6000 ⋅ 90% =
6000 90 ⋅ = 60 ⋅ 90 = 5400 1 100
A cipő 10%-os árengedmény után 5400 dinárba kerül.
8. *Egy füzet ára 20%-os drágulás után 96 dinár. Mennyi volt az eredeti ára? Eredeti ár: x x ⋅120% = 96 96 100 Drágulás: 100%+20%=120% x= ⋅ 3⋅ 2 = 6 1 120 Új ár (eredmény)=96 din 8 120 96 96 10 x⋅ = x= ⋅ 100 1 1 121 96 120 x = 80 x= : 1 100 A füzet eredeti ára 80 dinár volt 11. TÉMA: SZÁMTANI KÖZÉPÉRTÉK 1. Nórának a következő jegyei vannak matematikából a naplóban: 5,5,4,2,3,1,5,5,4,4,4,5,2,5,3. Számítsd ki átlagát! ÁTLAG=
5 + 5 + 4 + 2 + 3 + 1 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 5 + 2 + 5 + 3 57 = = 3,80 15 15
57 : 15 = 3,8 − 45 120 - 120
Nóra átlaga 3,80
0
2. *Két szám számtani középértéke 4,2, az egyik szám 1,79. Melyik a másik szám? a=1,79 2 +3 =5 a+b b=? A keresett szám a 6,61 átlag = 1,79 + b = 8,4 2 átlag: 4,2 1,79 + b b = 8,4 - 1,79 4,2 = 2 b = 6,61 3 = 6 :2 8,40 4,2 = (1,79 + b) : 2 − 1,79 1,79 + b = 4,2 ⋅ 2 6,61 1,79 + b = 8,4 3. Töltsd ki a táblázatot A 4 2,5
B 9 3,123
C 15 5,05
D 19 1,9
7/10
4/5
8/15
7/6
E 25 0,107
ÁTLAG 14,4 2,536 4 5
1.sor : átlag =
4 + 9 + 15 + 19 + 25 72 = = 14,4 5 5
2.sor : átlag =
2,5 + 3,123 + 5,05 + 1,9 + 0,107 12,68 = = 2,536 5 5
3.sor : 7 ⋅3 4⋅6 8⋅2 7 ⋅5 7 4 8 7 21 24 16 35 + + + + + + + + + 10⋅3 5⋅6 15⋅2 6⋅5 30 30 30 30 10 5 15 6 átlag = = = 4 4 4 96 16 96 ⋅ 1 16 4 4 átlag = 30 = = = 4 30 ⋅ 4 5 ⋅ 4 5 5 1 1
4. Peti útnak indult, hogy átutazza a sivatagot. 3-szor napi 25 km tett meg, 5-ször napi 22,7 km, 2-szer napi 20,8-at és 2-szer napi 19,35-öt. Mennyi volt Peti napi átlagosan megtett útmennyisége Össz távolság: 3⋅25 + 5⋅22,7 + 2⋅20,8 + 2⋅19,35 = 75 + 113,5 + 41,6 + 38,7= 268,8 Napok száma: 3 + 5 + 2 + 2 = 12 átlag =
230,1 = 19,175 12
Peti átlagosan 19,175 km-t tett meg naponta.
12. TÉMA: ARÁNY 1. Két város közötti távolság 45,2 km a térképen viszont 4 cm. Milyen arányban készült a térkép? 4 4 cm 4 cm 4 cm 1 = = = 45,2 km 45200 m 4.520.000 cm 1.130.000
A térkép 1:1.130.000 arányban készült.
2. Ugyanezen a térképen másik két város 15 cm-re van. Milyen távol vannak a valóságban? 15 1 15 = 1.130.000 16.950.000
16.950.000 cm = 169.500 m = 169,5 km A két város 169,5 km-re van egymástól 3. A térkép 1:1.000.000 arányban készült. Két város közötti távolság a valóságban 80 km. Mekkora a távolság a városok között a térképen? 80 km = 80.000 m = 8.000.000 cm
6: 2 = 3
8 1 8 = 1.000.000 8.000.000
A két város a térképen 8 cm-re van egymástól
4. Számítsd ki az arány ismeretlen tagját
x : 56 = 1
13 14
X=108
13 x : 56 = 1 14 13 56 x =1 ⋅ 14 1 27 56 4 x= ⋅ 1 114 x = 27 ⋅ 4 x = 108
5. Számítsd ki 2 szög nagyságát, ha azok összege 150° és arányuk 7:13 α+β=150°
α - 7 egység β - 13 egység Összesen 7+13=20 egység 150°: 20 = 7,5 α = 7 ⋅7,5 = 52,5° = 52°30′ β = 13 ⋅7,5 = 97,5° = 97°30′ Ellenőrzés: 52°30′+97°30′=149°60′=150° 6. * Két pótszög aránya 5:13. Számítsd ki nagyságukat. Pótszögek: összegük 90°
α+β=90° α - 5 egység β - 18 egység Összesen 5+13=18 egység 90°: 18 = 5 α = 5 ⋅5 = 25° β = 13 ⋅5 = 65° Ellenőrzés: 25°+65°=90°