Zbirka iz dinamike.pdf

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEU!ILIŠTA U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Rajko Grubiši!

TEORIJA KONSTRUKCIJA Primjeri dinami!ke analize elemenata konstrukcije

Zagreb, 2002

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEU!ILIŠTA U ZAGREBU Autor: dr.sc. Rajko Grubiši", redoviti profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveu#ilišta u Zagrebu Recenzenti: dr.sc. Ivo Senjanovi", redoviti profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveu#ilišta u Zagrebu dr.sc. Milenko Stegi", redoviti profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveu#ilišta u Zagrebu dr.sc. Željan Lozina, redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Sveu#ilišta u Zagrebu

Izdava#: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Ivana Lu#i"a 5, Zagreb Glavni urednik: prof. dr.sc. Tomislav Filetin Odluka Senata Sveu#ilišta u Zagrebu br. 02-2022/3-2001 od 12. velja#e 2002. Sveu#ilišni udžbenik CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveu#ilišna knjižnica - Zagreb UDK 621.8(075.8)(076) GRUBIŠI $, Rajko Teorija konstrukcija : primjeri dinami#ke analize elemenata konstrukcije / Rajko Grubiši". - Zagreb : Fakultet strojarstva i brodogradnje, 2002. (Udžbenici Sveu#ilišta u Zagrebu = Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis) Bibliografija. ISBN 953-6313-43-X I. Konstrukcijski elementi -- Strojarstvo - Udžbenik 420402088 Crteži i prijelom na ra#unalu: Mario Šimunec Copyright © Fakultet strojarstva i brodogradnje Tisak: Krinen, Zagreb Naklada: 200

Sadržaj

SADRŽAJ UVOD........................................................................................................................................5 POPIS OZNAKA......................................................................................................................9 PRVI DIO................................................................................................................................13 1. SUSTAVI S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE GIBANJA ........................................... 13 1.1. SLOBODNE VIBRACIJE ......................................................................................................13 1.1.1 Slobodne vibracije bez prigušenja .............................................................. ............... 13 1.1.2. Harmonijsko gibanje i njegove osnovne zna! ajke .................................................... 14 1.1.3. Slobodne vibracije s prigušenjem ......................................................... .................... 17 1.1.4 Primjeri......................................................................................................................20

Primjer 1.1................................................................................................................................. 20 Primjer 1.2................................................................................................................................. 20 Primjer 1.3................................................................................................................................. 21 Primjer 1.4................................................................................................................................. 21 Primjer 1.5................................................................................................................................. 23 Primjer 1.6................................................................................................................................. 23 Primjer 1.7................................................................................................................................. 24 Primjer 1.8................................................................................................................................. 26 Primjer 1.9................................................................................................................................. 27 Primjer 1.10............................................................................................................................... 28 Primjer 1.11............................................................................................................................... 29 Primjer 1.12............................................................................................................................... 29

1.2. PRISILNE VIBRACIJE – HARMONIJSKA SILA UZBUDE .........................................................30 1.2.1. Neposredna sila uzbude ...................................................................... ...................... 31 1.2.2. Centrifugalna uzbuda ...............................................................................................34 1.2.3. Uzbuda podloge ......................................................... ............................................... 35 1.2.4. Prenosivost vibracija ..................................................................... ........................... 38 1.2.5. Princip rada instrumenata za mjerenje vibracija ..................................................... 38 1.2.6. Primjeri.....................................................................................................................40

Primjer 1.13............................................................................................................................... 40 Primjer 1.14............................................................................................................................... 44 Primjer 1.15............................................................................................................................... 45 Primjer 1.16............................................................................................................................... 48 Primjer 1.17............................................................................................................................... 49 Primjer 1.18............................................................................................................................... 50 Primjer 1.19............................................................................................................................... 52 Primjer 1.20............................................................................................................................... 54 Primjer 1.21............................................................................................................................... 55

1

Teorija konstrukcija

1.3. PRISILNE VIBRACIJE – PERIODSKA SILA UZBUDE ..............................................................56 1.3.1 Sila i odziv u trigonometrijskom obliku .....................................................................57 1.3.2. Sila i odziv u kompleksno – eksponencijalnom obliku .............................................. 57 1.3.3. Harmonijska analiza periodskih vibracija................................................................58 1.3.4. Harmonijska analiza izmjerenih periodskih veli! ina................................................60 1.3.5. Frekvencijski spektar periodske funkcije ............................................................... ...61 1.3.6. Primjeri.....................................................................................................................62

Primjer 1.22............................................................................................................................... 62 Primjer 1.23............................................................................................................................... 63 Primjer 1.24............................................................................................................................... 64 Primjer 1.25............................................................................................................................... 66

1.4. PRISILNE VIBRACIJE – IMPULSNA SILA UZBUDE ...............................................................68 1.4.1. Približan postupak odre" ivanja odziva uslijed kratkotrajne impulsne sile...............69 1.4.2. Primjeri.....................................................................................................................70

Primjer 1.26............................................................................................................................... 70

1.5. PRISILNE VIBRACIJE – NEPERIODSKA SILA UZBUDE .........................................................71 1.5.1. Analiza odziva u frekvencijskom podru! ju........................................ ........................ 72

DRUGI DIO............................................................................................................................75 2. SUSTAVI S DVA STUPNJA SLOBODE GIBANJA......................................................75 2.1. SLOBODNE VIBRACIJE ......................................................................................................75 2.1.1. Svojstva prirodnih oblika..........................................................................................77

2.2. PRISILNE VIBRACIJE .........................................................................................................78 2.2.1. Metoda superpozicije prirodnih oblika vibriranja....................................................79

2.3. VIBRACIJE FLEKSIJSKIH SUSTAVA ...................................................................................80 2.3.1. Utjecajni koeficijenti.................................................................................................80 2.3.2 Analiza vibracija........................................................................................................81

2.4. VITLAJU!E VIBRACIJE OSOVINE BRODSKOG VIJKA ........................................................83 2.5. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE .............................................................................................85 2.6. PRIMJERI ...........................................................................................................................86 Primjer 2.1................................................................................................................................. 86 Primjer 2.2................................................................................................................................. 88 Primjer 2.3................................................................................................................................. 92 Primjer 2.4................................................................................................................................. 94 Primjer 2.5................................................................................................................................. 95 Primjer 2.6................................................................................................................................. 97 Primjer 2.7................................................................................................................................. 99 Primjer 2.8............................................................................................................................... 101 Primjer 2.9............................................................................................................................... 102 Primjer 2.10............................................................................................................................. 105

2

Sadržaj

TRE!I DIO...........................................................................................................................109 3. SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE GIBANJA I KONTINUIRANI SUSTAVI...........................................................................................109 3.1. METODA R AYLEIGHEVOG KVOCIJENTA ........................................................................109 3.1.1. Sustavi s više povezanih linearnih ! lanova.............................................................110 3.1.2 Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja .................................................................111 3.1.3. Sustavi s raspodijeljenom masom i krutosti............................................................112

3.2. PRIMJERI .........................................................................................................................113 Primjer 3.1............................................................................................................................... 113 Primjer 3.2............................................................................................................................... 114 Primjer 3.3............................................................................................................................... 116 Primjer 3.4............................................................................................................................... 117 Primjer 3.5............................................................................................................................... 119 Primjer 3.6............................................................................................................................... 120

LITERATURA ............................................................... ...................................................... 123

3


4

Uvod

Uvod Iako se tu ne mogu povu!i neke "vrste granice, uobi"ajeno je vibracije definirati kao takav oblik vremenske promjene neke fizikalne veli "ine, kod koje !e ova barem jednom doživjeti uspon i pad svoje vrijednosti i ne !e se u promatranom vremenskom intervalu mijenjati monotono. Vibracijske veli"ine mogu biti translatorni i kutni pomaci, sile, elektri "ni napon, jakost magnetskog polja ili druge fizikalne veli "ine, koje su na opisan na "in vremenski promjenjive. Naj"eš!i i najprepoznatljiviji prikaz vibracijske veli "ine je u ovisnosti o vremenu, f = f (t ) , tj. prikaz u vremenskom podru" ju. Osim ovog postoje još i drugi na"ini prikazivanja, kao npr. u frekvencijskom podru " ju. Da bi se vibracije mogle jednostavnije matemati "ki opisati, potrebno ih je podijeliti u odre#ene skupine. U tu svrhu postoje, ovisno o izabranom kriteriju, razli "ita na"ela podjele. Pritom je važno ista!i, da se podjela vibracijskih sustava prije svega odnosi na modele stvarnih sustava. Prijelaz od stvarnog sustava na vibracijski model, tzv. modeliranje, od temeljne je važnosti za rješenje ovog tehni "kog problema. Razvoj matemati "kog modela definiran je složenoš!u problema, izborom metode rješavanja i upotrebljivoš !u dobivenih rezultata. Stoga je nužno s jedne strane, da vibracijski model bude što jednostavniji, a s druge strane, da se pomo!u njega mogu dobiti rezultati zadovoljavaju !e to"nosti. U inženjerskoj praksi tri su vrste podjele vibracija i vibracijskih sustava uobi "ajene: prema broju stupnjeva slobode gibanja, prema karakteru diferencijalnih jednadžbi i prema na"inu postanka vibracija. Pod pojmom broja stupnjeva slobode gibanja podrazumijeva se broj nezavisnih koordinata koje su potrebne za cjelovit opis gibanja vibracijskog sustava. Prema njemu razlikuju se sustavi s kona "nim i beskona"nim brojem stupnjeva slobode gibanja. Mehani "ki sustavi s kona "nim brojem stupnjeva slobode gibanja sastoje se od kona "nog broja krutih masa me#usobno povezanih s elasti "nim elementima bez mase. Tu se isti "u sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja i to zato jer su najjednostavniji, te se pomo !u njih mnoge zna"ajke vibracija mogu objasniti na najjednostavniji i najpregledniji na "in, i jer se nerijetko stvarni vibracijski sustavi mogu svesti na model s jednim stupnjem slobode gibanja. Mehani "ki sustavi s kontinuirano raspodijeljenom masom jesu sustavi s beskona "nim brojem stupnjeva slobode gibanja. Naj"eš!i inženjerski primjeri ovakvih sustava su štapovi, grede, užad, okvirni nosa"i, plo"e i ljuske. Prema karakteru diferencijalnih jednadžbi koje opisuju vibracije (i propisuju metodu rješavanja problema), razlikuju se linearni i nelinearni sustavi vibriranja. Iako se u stvarnosti pojava vibracija može opisati samo pomo !u nelinearnih jednadžbi, uz odre #ene pretpostavke mogu!e je ove jednadžbe linearizirati. Sustavi koji se mogu svesti na linearne jednadžbe, ozna"avaju se kao linearni. Rješenje linearnih diferencijalnih jednadžbi bitno je jednostavnije od rješenja nelinearnih jednadžbi. Glavna prednost se sastoji u tome, da se ukupno rješenje može jednostavnom superpozicijom sastaviti iz niza partikularnih rješenja. S druge strane, analiza nelinearnih sustava, uz rijetke izuzetke, mogu !a je jedino primjenom približnih ili numeri"kih metoda. Obzirom na uzrok nastanka vibracija, postoji podjela na slobodne i prisilne vibracije. Ukoliko se neki vibracijski sustav u trenutku t = t 0 izvana pobudi na vibriranje i nakon toga prepusti vibriranju s prirodnom frekvencijom nakon iztitravanja po"etne uzbude, tada se govori o slobodnim vibracijama tog sustava. Iste se matemati "ki opisuju pomo!u homogenih diferencijalnih jednadžbi. Slobodne vibracije mogu biti bez i s prigušenjem, ovisno o tome da 5

Teorija konstrukcija li !e tijekom vibriranja do !i do rasipanja energije vibriranja ili ne. U pravilu je zanemarenje prigušenja pretpostavka koja dovodi do pojednostavljenja matemati"kog modela. U slu"aju prisilnih vibracija, sustav vibrira s frekvencijom koja mu je izvana nametnuta, s tzv. frekvencijom uzbude. Matemati"ki se opisuju pomo !u nehomogenih diferencijalnih jednadžbi, pri "emu vanjska uzbuda, tj. funkcija smetnje, može biti deterministi "ka ili stohasti"ka funkcija vremena. U prvom slu "aju razlikujemo harmonijske, periodske i neperiodske vibracije, a u drugom slu"aju radi se o slu"ajnim vibracijama. Ovaj udžbenik je vezan uz predmet Teorija konstrukcija što ga autor predaje na III godini studija brodogradnje u Zagrebu, odnosno za dio predmeta koji obuhva !a dinami"ku analizu elemenata konstrukcije. Zamišljen je kao nastavak predmeta Mehanika III (II godina studija) i kao priprema za predmet Vibracije broda (IV godina studija). Naime, dok se u kolegiju Mehanika III predaju samo najelementarnije osnove teorije vibracija na razini sustava s jednim stupnjem slobode gibanja i neposredne harmonijske uzbude, dotle se u kolegiju Vibracije broda predaju vibracije složenih kontinuiranih sustava s beskona "no mnogo stupnjeva slobode gibanja i s raznim tipovima uzbude, od harmonijske, periodske do impulsne i neperiodske, O"igledno je, da izme#u ova dva kolegija postoji prostor koji je trebalo premostiti i popuniti upravo sadržajem ovog udžbenika. U ovoj knjizi razmatrane su isklju "ivo linearne i deterministi"ke vibracije diskretnih sustava (koncentrirane mase). Kontinuirani sustavi zastupljeni su samo prikazom približnog postupka za odre#ivanje njihove najniže prirodne frevencije. Sa željom da se knjiga didakti "ki što više približi onima kojima je i namijenjena, studentima i mladim injženjerima koji tek zapo "inju svoj stru"ni uzlet, u Prvom dijelu težište analize je stavljeno na analizu sustava s jednim stupnjem slobode gibanja, ali za sve mogu !e vrste sila uzbude. Prvo je prikazana analiza harmonijskih vibracija. Objašnjeni su svi osnovni pojmovi harmonijskog gibanja, opisane su slobodne vibracije bez i sa prigušenjem, te su analizirane prisilne vibracije za nekoliko vrsti harmonijskih sila uzbuda koje se naj "eš!e javljaju u strojarskoj praksi. Uveden je pojam kompleksne frekvencijske funkcije odziva H (λ ) kao uvod u op!u analizu odziva kod dinami "kih procesa. Opisan je princip rada instrumenata za mjerenje vibracija. Nadalje, za slu"aj periodske sile uzbude prikazana je mogu !nost izražavanja iste u obliku reda svojih harmonijskih komponenti, te odre #ivanje odziva kao superpozicije harmonijskih komponenti odziva. Opisana je harmonijska analiza izmjerenih periodskih vibracija (ne poznavaju!i njihov izvor, tj. periodsku silu uzbude), uvedeni su pojmovi harmonika vibriranja i frekvencijskog spektra. Zatim su opisane vibracije uslijed djelovanja impulsne sile uzbude. Dane su osnovne zna"ajke ovog tipa uzbude, te je istaknuta ovisnost na "ina vibriranja o odnosu izme#u vremena trajanja impulsa i perioda vibriraju !eg sustava. Prikazan je približan postupak odre#ivanja odziva u slu"aju kratkotrajnog djelovanja impulsne sile. Kona"no je u Prvom dijelu razmotren slu "aj vibracija uslijed neperiodske sile uzbude. Prikazan je postupak analize neperiodskih vibracija u vremenskom i frekvencijskom podru " ju. U prvom slu"aju je neperiodska sila uzbude prikazana kao beskona "an niz diferencijalnih impulsa, te je vremenska funkcija odre #ena integriranjem diferencijalnih impulsnih odziva. U drugom slu"aju je primijenjen princip superpozicije sile uzbude kao i u slu "aju periodske sile uzbude. Me#utim, zbog neperiodi"nosti sile uzbude (period je beskona "an) prelazi se od Fourierovog reda na Fourierov integral, iz "ega proisti"e tzv. par Fourierove transformacije koji predstavlja osnovu tehnike poznate pod nazivom brza analiza Fourierove transformacije. U Drugom dijelu knjige prikazana je analiza slobodnih i prisilnih harmonijskih vibracija sustava s dva stupnja slobode gibanja. Uvedeni su pojmovi (vlastite vrijednosti i 6

Uvod oblici) i metode prora"una (metode superpozicije prirodnih oblika vibriranja) koji se redovito koriste i kod analize vibracija kontinuiranih sustava. Posebna je važnost dana analizi vibracija fleksijskih sustava kao uvod u analizu vibracija grede. Kao alternativa primjene uvjeta dinami"ke ravnoteže za postavljanje diferencijalnih jednadžbi gibanja sustava, prikazana je metoda postavljanja Lagrangeovih jednadžbi. Tre"i dio knjige posve!en je približnom odre #ivanju prve (osnovne) prirodne frekvencije sustava s mnogo stupnjeva slobode gibanja kao i kontinuiranih sustava. U tu svrhu je prikazana metoda Rayleighevog kvocijenta. $itava knjiga je koncipirana na na "in da je za svaku temu prvo razvijena i razra #ena teorijska osnova, a nakon toga slijede pomno odabrani i teorijskoj osnovi prilago #eni riješeni numeri"ki primjeri. Tu bih želio posebno istaknuti pomo ! i suradnju mog višegodišnjeg suradnika gospodina Maria Šimunca, bivšeg studenta našeg Fakulteta i inženjera brodogradnje, koji je prilikom obrade rukopisa knjige na elektroni"kom ra"unalu pomno pro"itao "itav tekst, a posebno numeri "ke primjere, te pravodobno upozorio na propuste i greške. Na kraju knjige se nalazi pregled literature koja je ili neposredno poslužila za pisanje iste ili se preporu "a njenim korisnicima koji imaju želje da se intenzivnije uhvate u koštac s teorijom vibracija. Pošto smo ve ! kod završnih rije"i ovog uvoda, želio bih se ujedno zahvaliti i recenzentima knjige, gospodi prof. dr. sc. Ivi Senjanovi !u, prof. dr. sc. Milenku Stegi !u i prof. dr. sc. Željanu Lozini na mnogim korisnim upozorenjima i sugestijama koje su dovele tekst u spremnost za tiskanje. Autor

7


8

Popis oznaka

Popis oznaka PRVI DIO – Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja c

- koeficijent prigušenja viskozno – prigušnog elementa,

ckr

- koeficijent kriti"nog prigušenja,

bg

F t

F 0 F an, F bn F PR f H λ

bg H b λ g n

-

PR

-

k

-

m t t 1 ~t T T F x t

-

bg x! b t g x!!b t g ~t xch

-

Ns m

Ns m

sila uzbude, N amplituda harmonijske sile uzbude, N koeficijent periodske sile uzbude razvijene u Fourierov red, N sila prenesena na podlogu, N frekvencija periodskih vibracija, Hz kompleksna frekvencijska funkcija odziva uslijed harmonijske sile uzbude kompleksna frekvencijska funkcija uslijed n-tog harmonika periodske sile uzbude faktor prenosivosti vibracija N krutost elasti"nog elementa, m masa, kg vrijeme, s vrijeme djelovanja impulsne sile uzbude, s vrijeme vibriranja nakon prestanka djelovanja impulsne sile uzbude, s period harmonijskih vibracija, s period periodske sile uzbude, s vibracijski pomak, m m brzina vibracija, s m ubrzanje vibracija, 2 s vibracijski pomak nakon prestanka djelovanja impulsne sile uzbude,

m X X X k z t

bg

α α cf α x α r

- amplituda harmonijskih vibracija, m - kompleksna amplituda harmonijskih vibracija prikazanih u kompleksnom obliku - amplituda k-tog harmonika periodskih vibracija - fazor harmonijskih vibracija prikazanih u kompleksnoj ravnini, m - faktor dinami"nosti kod djelovanja neposredne harmonijske sile uzbude - faktor dinami"nosti kod djelovanja centrifugalne uzbude - faktor dinami"nosti apsolutnog gibanja kod djelovanja uzbude podloge - faktor dinami"nosti relativnog gibanja kod djelovanja uzbude podloge 9

Teorija konstrukcija β =

λ ω

- omjer frekvencije uzbude i prirodne frekvencije

λ

- logaritamski dekrement - kut faznog pomaka vibracijskog pomaka prema sili uzbude, rad - nulti fazni kut kod harmonijskih vibracija, rad 2π - frekvencija harmonijske sile uzbude = , Hz

λ 1

-

δ ε ϕ

I G J H T K 2π I frekvencija periodske sile uzbude G = J , Hz HT K F

λ n ω ω k ω pr

bg

ψ t

ξ

10

b g

- frekvencija n-tog harmonika periodske sile uzbude = nλ 1 , Hz rad - kružna frekvencija harmonijskog gibanja, s rad - kružna frekvencija k-tog harmonika periodskih vibracija, s rad - kružna frekvencija periodskih vibracija, s - fazni kut kod harmonijskih vibracija, rad - bezdimenzijski koeficijent prigušenja

Popis oznaka

DRUGI DIO – Sustavi s dva stupnja slobode gibanja D

- dinami"ka matrica

k 1, k 2

- krutosti elasti"nih elemenata vibracijskog sustava,

K 1, K 2

- poop!ene krutosti,

k m1, m2 M1, M2 m

-

P

- frekvencijska jednadžba

bg qb t g t g ,q b Q,Q Ub q ," , q g Vb q ,", q g 1

2

1

2

1

n

1

n

N m

matrica krutosti mase vibracijskog sustava, kg poop!ene mase, kg matrica masa

- poop!ene koordinate, m - amplitude poop!enih koordinata, m - kineti"ka energija vibracijskog sustava, Nm

lΦ q, lΦ q

- potencijalna energija vibracijskog sustava, Nm - mase vibracijskog sustava, m m - ubrzanja vibracijskog sustava, 2 s - amplitude vibriranja vibracijskog sustava, m m - utjecajni koeficijenti, N - prirodni oblici vibriranja vibracijskog sustava

ω 1, ω 2

-

Ω1, Ω2

rad - prirodne vrijednosti vibracijskog sustava, s

x1, x2 x!!1 , x!!2

X 1, X 2

α ij 1

2

N m

prirodne kružne frekvencije vibracijskog sustava,

rad s

2

G H JK

11


TRE!I DIO – Sustavi s s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi EA EI E k E p GI p U W i

bg

ϕ x

12

-

osna krutost štapa, N krutost na savijanje grede, Nm2 kineti"ka energija, Nm potencijalna energija, Nm krutost na uvijanje vratila, Nm2 ukupna energija konzervativnog vibracijskog sustava, Nm amplitude pretpostavljenog osnovnog oblika vibriranja kod fleksijskih vibracija, m - funkcija pretpostavljenog osnovnog oblika vibriranja kod kontinuiranih sustava

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja

PRVI DIO 1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja vrlo su pogodni, da se na jednostavan na "in prikažu i opišu vibracije uslijed najjednostavnijeg do najsloženijeg oblika optere !enja. Takav sustav shematski je prikazan na slici 1.1. x(t ) c

F (t )

m k

Slika 1.1. Sustav s jednim stupnjem slobode gibanja

Njegove osnovne sastavnice su masa m, elasti"ni element krutosti k i viskozno – prigušni element s prigušenjem c. Masa je optere !ena vremenski promjenjivom uzbudnom silom F(t). Jednadžba gibanja sustava na slici 1.1. glasi

bg

mx!! + cx! + kx = F t

(1.1)

!! - inercijska sila, cx ! - sila prigušenja i kx – povratna (elasti"na sila). gdje su redom: mx

1.1. Slobodne vibracije

bg

U slu"aju kada je u jednadžbi (1.1) sila F t = 0 govorimo o slobodnim vibracijama. Ovisno o tome da li je koeficijent prigušenja c jednak ili razli"it od nule, razlikujemo slobodne vibracije bez ili s prigušenjem. 1.1.1 Slobodne vibracije bez prigušenja

U slu"aju slobodnih vibracija bez prigušenja jednadžba (1.1) glasi mx!! + kx = 0

(1.2)

Definiranjem prirodne kružne frekvencije ω 2 =

k m

(1.3)

jednadžba (1.2) poprima oblik x!! + ω 2 x = 0

(1.4) 13

Teorija konstrukcija Jednadžba (1.4) je linearna diferencijalna jednadžba 2. reda sa sljede !im op!im rješenjem

bg ωt + ϕ g , xb tg = X sinb

x t = A sin ωt + B cosω t

odnosno

A2 + B 2 ,

X =

ϕ = arctg

B

(1.5)

A

bg bg

! 0 . Stoga gdje su A i B konstante integracije, koje se odre #uju iz zadanih uvjeta x 0 i x rješenje (1.5) poprima kona "an oblik

bg x!ω b0gsin ωt + xb0gcosω t

x t =

(1.6)

Funkcija (1.6) opisuje harmonijske vibracije sustava na slici 1.1 s prirodnom frekvencijom i u"inkom koji je induciran s po "etnim uvjetima. U realnim vibracijskim sustavima s prigušenjem, gibanje (1.6) je prolaznog karaktera, jer !e prigušenje prouzro"iti njegovo is"ezavanje. Stoga se vibracije opisane funkcijom (1.6) "esto nazivaju prolazne vibracije. 1.1.2. Harmonijsko gibanje i njegove osnovne zna! ajke

Osnovni na"in opisa harmonijskog gibanja u vremenskom podru " ju glasi

bg

b g bg ψ b t g– fazni kut kao linearna funkcija vremena,

x t = X sin ωt + ϕ = X sin ψ t

U izrazu (1.7) X je amplituda, fazni kut (za t = 0 ) i - kružna frekvencija. Nakon isteka vremena T i njegovih višekratnika nT gibanje se ponavlja,

b g bg

Vrijeme T naziva se period harmonijskog gibanja i ono je povezano s frekvencijom 2π ω

Recipro"na vrijednost perioda T naziva se frekvencija f harmonijskog gibanja, f =

14

– nulti

n = 1, 2," ∞

x t + nT = x t

T =

(1.7)

1 T

na na"in

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Na slici 1.2 prikazano je harmonijsko gibanje x (t ) s navedenim zna"ajkama. x(t )

T =

2π ω

X t

0 t ϕ =

ϕ ω Slika 1.2. Prikaz harmonijskog gibanja u vremenskom podru" ju

Osim u obliku izraza (1.7) postoji i drugi na "in opisa harmonijskih gibanja u vremenskom podru" ju koji glasi

bg

x t = C1 cos ωt + C2 sin ω t

(1.8)

Izme#u parametara u izrazima (1.7) i (1.8) postoji sljede !a veza X =

C12 + C 22

,

C 1

ϕ = arctg

C 2

Harmonijsko gibanje se može, osim u realnom obliku (1.7) ili (1.8), prikazati i u kompleksnom obliku. Pritom je funkcija x t imaginarni dio fazora z t koji rotira kutnom brzinom u kompleksnoj ravnini,

bg

bg

z t = X ⋅ e

b g=

i ωt + ϕ

X

bg

bg

b g b g

cos ωt + ϕ + i sin ωt + ϕ = X ⋅ e iω t

b g cbgh

(1.9) (1.10)

x t = X sin ωt + ϕ = Im z t

Veli"ina X naziva se kompleksnom amplitudom X = X ⋅ eiϕ ,

X = X,

za t = 0

bg

X = z 0

15


bg

Fazor z t sa svojim zna "ajkama prikazan je na slici 1.3. Im ( z )

z (t )

x (t )

X ω t

C 1

ϕ

C 2

Re ( z )

Slika 1.3. Harmonijsko gibanje u kompleksnom obliku

Superpozicija dviju harmonijskih gibanja razli "itih amplituda i nultih faznih pomaka, ali iste frekvencije daje kao rezultantu opet harmonijsko gibanje iste frekvencije kao i harmonijske komponente. Dakle,

bg

b g

b g

b

b

g

g

x t = X sin ωt + ϕ = X 1 sin ωt + ϕ 1 + X 2 sin ωt + ϕ 2

Pritom vrijedi X =

X 12 + X 22 + 2 X 1 X 2 cos ϕ 1 + ϕ 2

ϕ = arctg

X 1 sin ϕ 1 + X 2 sin ϕ 2 X 1 cos ϕ 1 + X 2 cos ϕ 2

U kompleksnom obliku ta superpozicija ima sljede !i izgled

d

i

z = X 1 + X 2 eiωt = Xei ω t

i prikazana je na slici 1.4. Im ( z )

X X 1 ϕ 2 ϕ

X 2 ϕ 1

Re ( z ) Slika 1.4. Superpozicija dvaju harmonijskih gibanja iste frekvencije

16

(1.11)

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja U slu"aju kada je 1 = 2 , tada se komponente vibracija nazivaju sinkronim vibracijama, a amplituda njihove rezultante iznosi X = X 1 + X 2 . 1.1.3. Slobodne vibracije s prigušenjem

U slu"aju slobodnih vibracija s prigušenjem razmatrati !e se samo viskozno prigušenje, gdje je viskozna sila prigušenja razmjerna brzini, c - koeficijent prigušenja

F = cx!

te stoga jednadžba (1.1) poprima oblik mx!! + cx! + kx = 0

(1.12)

Rješenje ove homogene diferencijalne jednadžbe u op !em obliku glasi

H

x = e −ξω t Ae

i 1− ξ 2 ω t

+ Be

I K

−i 1− ξ 2 ωt

(1.13)

Veli"ina naziva se bezdimenzijski koeficijent prigušenja i predstavlja omjer stvarnog i kriti"nog prigušenja ξ =

c ckr

(1.14)

gdje je koeficijent kriti "nog prigušenja ckr = 2 km = 2mω

Na"in gibanja opisan jednadžbom (1.13) ovisi o iznosu veli "ine

(1.15) . Tu se razlikuju tri slu"aja.

b g

1) Vibracije s podkriti#nim prigušenjem ξ < 1 Rješenje jednadžbe (1.12) glasi

e

x = e −ξω 0t C1 sin

j

1 − ξ 2 ωt + C2 cos 1 − ξ 2 ωt

(1.16)

i ono opisuje vibracije s podkriti "nim prigušenjem prema slici 1.5.

17

Teorija konstrukcija x

t

Slika 1.5. Vibracije s podkriti"nim prigušenjem

Usporedbom rješenja (1.16) i (1.5) (za neprigušene vibracije) uo "ljiva je kružna frekvencija prigušenih vibracija u obliku ω pr = ω 1 − ξ 2

(1.17)

b g

2) Vibracije s nadkriti#nim prigušenjem ξ > 1 Rješenje jednadžbe (1.12) sada glasi x = Ae

F−ξ + H

I F K + Be H− ξ −

ξ 2 −1 ωt

I K

ξ 2 −1 ωt

(1.18)

Ovo gibanje je grafi "ki prikazano na slici 1.6. i ono nema oscilatorni karakter. x

t

Slika 1.6. Vibracije s nadkriti"nim prigušenjem

18


b g

3) Vibracije s kriti#nim prigušenjem ξ = 1 Rješenje jednadžbe (1.12) glasi

x = C1 e−ω t + C2te −ω t

(1.19)

bg bg

i ono je definirano iznosom konstanti C 1 i C 2 koje ovise o po"etnim uvjetima x 0 i x! 0 .

bg

Na slici 1.7 prikazana su tri oblika odziva s istim po "etnim pomakom x 0 i s razli"itim

bg

vrijednostima po"etne brzine x! 0 . x

t

Slika 1.7. Vibracije s kriti"nim prigušenjem

Prikladan na"in ocjene prigušenja u nekom sustavu je intenzitet smanjenja slobodnih vibracija. Što je ja"e prigušenje, to !e intenzitet smanjenja vibriranja biti ve !i. U tu svrhu uvodi se pojam logaritamski dekrement, koji se definira kao prirodni logaritam omjera dviju uzastopnih amplituda, kako slijedi δ = ln

x1 x2

=

2πξ 1 − ξ 2

(1.20)

19

Teorija konstrukcija 1.1.4 Primjeri

PRIMJER 1.1 Zadane su harmonijske vibracije s amplitudom vibriranja X i periodom T . Odrediti amplitudu brzine i ubrzanja vibracija. Zadano: X = 0,002 m,

T = 0,15 s

Vremenska funkcija harmonijskih vibracija glasi

bg

b g

x t = X sin ω t + ϕ

U tom slu"aju su brzina i ubrzanje

bg b g b g x!!b tg ωt + ϕ g = − Xω sinb x! t = Xω cos ωt + ϕ = X! cos ωt + ϕ 2

Amplituda brzine vibracija, 2π X! = Xω = X = 0,084 T

m s

Amplituda ubrzanja vibracija, m I = 351 , G J HT K s

!! = Xω 2 = X X

2π

2

2

PRIMJER 1.2 Mjerenjem je ustanovljeno da neka konstrukcija vibrira harmonijski s frekvencijom f i s !! . Odrediti amplitudu vibriranja. maksimalnim ubrzanjem X Zadano: f = 82 Hz,

!! = 50 g , X

g = 9,81

m s2

Obzirom da je

bg

!! = Xω 2 = X ⋅ 2π f X

2

proizlazi da je amplituda vibriranja X =

20

!! X

= 0,0018 m

bg 2π f

2

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja PRIMJER 1.3 ! .Odrediti amplitudu i Harmonijske vibracije imaju frekvenciju f i amplitudu brzine X period vibriranja te amplitudu ubrzanja. ! = 4,57 Zadano: f = 10 Hz, X

m s

Obzirom da je X! = Xω = X ⋅ 2π f

proizlazi da je amplituda vibriranja X =

! X

2π f

= 0,073 m

a period vibriranja T =

1 f

= 0,1 s

Amplituda ubrzanja vibracija glasi

b g= 287 sm

!! = X ⋅ 2π f X

2

2

PRIMJER 1.4 Na slici 1.8 prikazane su harmonijske vibracije u vremenskom podru " ju. Odrediti: a) amplitudu, nulti fazni pomak vibriranja i kružnu frekvenciju vibriranja iz formule (1.1) b) konstante C 1 i C 2 iz formule (1.8) c) sliku vibriranja u kompleksnoj ravnini

x(t )

X = 0,002 m t

0,02 s

0,1 s Slika 1.8. Primjer 1.4

21

Teorija konstrukcija a) Iz slike je vidljivo da je - amplituda vibriranja X = 0,002 m - period vibriranja T = 2 ⋅ 0,1 = 0,2 s 3 - nulti vremenski fazni pomak tϕ = T − 0, 02 = 0,13 s 4 Iz toga slijedi da je 2π - kružna frekvencija ω = , s-1 = 3142 T - nulti fazni kut ϕ = t ϕ ⋅ ω = 4,08 rad = 234°

b) Konstante C 1 i C 2 iznose C1 = X sin ϕ = −0,0016 m C2 = X cosϕ = −0,0012 m c) Prikaz vibracija iz slike 1.5 u kompleksnoj ravnini dan je na slici 1.9. Im ( z )

ϕ = 234°

C 2

Re ( z )

C 1 X X

Slika 1.9. Primjer 1.4

22

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja PRIMJER 1.5 Odrediti prirodnu frekvenciju sustava s masom M na kraju konzole, krutosti na savijanje EI i zanemarive mase, prema slici 1.10. Zadano: M , l , EI

l , EI

M x


Sustav na slici 1.10 može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom opisanim jednadžbom (1.2), s time, da je potrebno odrediti krutost k sustava. Ona se odre #uje na osnovi izraza za progib w na kraju konzole uslijed djelovanja sile F na istom mjestu: 3 3EI Fl F što daje = w= k = 3 3 EI k l 1 k 1 3 EI Prirodna frekvencija glasi : f = = 2π m 2π Ml 3 PRIMJER 1.6 Disk polarnog momenta inercije mase J ovješen je na "eli"nom vratilu promjera d popre"nog presjeka i duljine l prema slici 1.11. Ako se disku narine po "etni kutni pomak i pusti da slobodno oscilira, isti u "ini 15 oscilacija u vremenu 30 s. Odrediti promjer vratila. Zadano: J = 1 kgm2 , l = 1 m, G = 0,8 ⋅108

kN m2

l , GI p

ϑ


23

Teorija konstrukcija Primjenom uvjeta dinami"ke ravnoteže proizlazi momentna jednadžba !! + k ϑ = 0 Jϑ

Ova jednadžba je analogna jednadžbi (1.2), tako da se za prirodnu frekvenciju može pisati f =

1 k 2π J

što daje izraz za krutost k ,

bg

k = J 2π f

gdje je

f =

2

15 = 0,5 Hz 30

Krutost na uvijanje na kraju vratila glasi k =

gdje je I p =

GI p l

d 4π

polarni moment tromosti kružnog presjeka vratila. 32 Izjedna"avanjem gornja dva izraza za k slijedi formula za promjer vratila d = 4

128π lJf 2 G

= 0,0059 m

PRIMJER 1.7 Teret mase m visi na nepomi"noj koloturi momenta inercije mase J obzirom na os rotacije, koja je posredstvom opruge krutosti k vezana za zid prema slici 1.12. Odrediti prirodnu frekvenciju prikazanog sustava. Zadano: r1 , r 2 , k , m, J

k

r 2

r 1 J

m Slika 1.12. Primjer 1.7

24

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Ako se sustavu dade pomak x 1 prema slici 1.13, tada se primjenom uvjeta dinami "ke ravnoteže može odrediti potrebna diferencijalna jednadžba gibanja. kx2

S 2

S 2

ϕ , ϕ

S 1 S 1

m x1, x1 Slika 1.13. Primjer 1.7

Teret: Kolotura: Opruga: Kinematski odnosi:

!!1 − S1 = mx !! S1r1 − S2 r2 = J ϕ

S2 = kx2 x1 = r 1ϕ ,

!! , !! x1 = r1ϕ

x2 = r 2ϕ

Objedinjavanjem gornjih jednadžbi i kinematskih odnosa slijedi !! + kr ϕ = 0 J + mr iϕ d 2 1

2 2

te je prirodna frekvencija sustava 1 kr 22 f = 2π J + mr 12

25

Teorija konstrukcija PRIMJER 1.8 Za vibriraju!i sustav prema slici 1.14a odrediti njegovu ekvivalentnu krutost. Zadano: k1 , k2 , k 3

k 1

x2>x1

k 2

k 1 x1

k 2 x1

x1

k 3

k 3( x2- x1)

m

m x2, x2

a)

b)

m x2

c)


Ekvivalentna krutost zadanog sustava može se odrediti, ako se postavi diferencijalna jednadžba gibanja u obliku (1.4). U tu svrhu se sustavu dadu pomaci x 1 i x 2 prema slici 1.14b, te se prema slici 1.14c postave odgovaraju !e jednadžbe dinami"ke ravnoteže sila

b g k b x − x gb x = k +k g

mx!!2 + k 3 x2 − x1 = 0 3

2

1

1

2

1

2

=0

Odatle slijedi, mx!!2 +

te ekvivalentna krutost sustava iznosi

26

bk + k gk x 1

2

3

k1 + k 2 + k 3 k ekv =

bk + k gk 1

2

3

k1 + k 2 + k 3

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja PRIMJER 1.9 Odrediti ekvivalentnu krutost torzijskih vibracija osovinskog voda prema slici 1.15a, te izra"unati njegovu prirodnu kružnu frekvenciju. Zadano: k1 , k 2 , J (moment inercije mase zamašnjaka obzirom na os rotacije) ψ 1

ψ 2, ψ 2

J k 1

k 2

k 2

k 1ψ 1

k 2(ψ 2-ψ 1)

J ψ 2 a)

k 2ψ 2

b) Slika 1.15. Primjer 1.9

Zadani problem se rješava postavljanjem diferencijalne jednadžbe torzijskih vibracija. Prema slici 1.15b proizlazi

b

g

!! 2 + k 2ψ 2 + k 2 ψ 2 − ψ 1 = 0 Jψ

b

g

k 2 ψ 2 − ψ 1 − k 1ψ 1 = 0

što daje ψ1 =

k 2 k1 + k 2

ψ 2

te diferencijalna jednadžba glasi !! 2 + J ψ

Ekvivalentna krutost,

k ef =

Prirodna kružna frekvencija,

ω =

2 k1k 2 + k 22 k1 + k 2

ψ 2 = 0

b2k + k gk 1

2

2

k1 + k 2

b2k + k gk J b k + k g 1

2

1

2

2

27

Teorija konstrukcija PRIMJER 1.10 Odrediti period T njihanja broda, ako je poznata njegova metacentarska visina h, težina broda G i moment inercije J mase broda s obzirom na os njihanja prema slici 1.16a.

ϕ ϕ ,

M

h

J ϕ

TG

M G

G

U =G

a)


Vibracijske zna"ajke njihanja broda ovise o položaju metacentra M u odnosu na težište mase broda TG . Metacentar M leži u sjecištu pravca djelovanja uzgona U i osi simetrije broda. Njegov položaj je odre#en udaljenoš!u h od težišta mase broda, koja se naziva metacentarska visina, vidi sliku 1.16a. Nagibanjem broda za kut , uzgon U i težina broda G stvaraju povratni moment M G prema slici 1.16b. Diferencijalna jednadžba njihanja broda glasi !! + M G = 0 Jϕ

gdje je M G = Gh sin ϕ

Za male vrijednosti

vrijedi sin

≈

, te se dobiva !! + Ghϕ = 0 Jϕ

Prirodna frekvencija njihanja,

f =

Period njihanja,

T =

28

1 Gh 2π J 1 f

= 2π

J Gh

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja PRIMJER 1.11 Za vibriraju!i sustav mase m, krutosti k i viskoznog prigušenja c odrediti logaritamski dekrement i omjer dviju uzastopnih amplituda. Zadano: m = 5 kg, k = 6000

N Ns , c = 24 m m

Prirodna frekvencija neprigušenih vibracija sustava iznosi k

ω =

m

6000 rad = 34,64 5 s

=

Koeficijent kriti"nog prigušenja prema izrazu (1.15) iznosi ckr = 2mω = 2 ⋅ 5⋅ 34,64 = 346,4

Ns m

Bezdimenzijski faktor prigušenja prema izrazu (1.14) iznosi ξ =

c ckr

=

24 = 0,069 346,4

Logaritamski dekrement prema izrazu (1.20) iznosi δ =

2πξ 1 − ξ 2

=

2π ⋅ 0,069 1 − 0, 069 2

= 0,435

Omjer bilo kojih dviju uzastopnih amplituda iznosi x1 x 2

, = e δ = e 0,4 35 = 1545

PRIMJER 1.12 Za vibriraju!i sustav prikazan na slici 1.17a odrediti frekvenciju prigušenih vibracija i koeficijent kriti"nog prigušenja. Pretpostaviti krutu gredu zanemarive mase. Zadano: a, b, m, k , c b a m

O

O x, x, x x 1

c

k mx

kx1

c x a)

b)


29

Teorija konstrukcija Ako se sustavu dadu pomaci x i x 1 prema slici 1.17b, tada se potrebna diferencijalna jednadžba gibanja dobiva iz uvjeta dinami "ke ravnoteže s obzirom na zglob O, !! + cxa ! + kx1b = 0 mxa

gdje je

x1 =

b a

x

Prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija slijedi iz jednadžbe

x!! +

b 2 k x = 0 , a2 m

ω =

b

k

a

m

Koeficijent kriti"nog prigušenja ckr slijedi iz izraza (1.15) ckr = 2mω = 2

Bezdimenzijski faktor prigušenja

c ckr

=

ca

2b km

prema izrazu (1.17) proizlazi

pr

2

ω pr = ω 1 − ξ = ω pr =

km

a

prema izrazu (1.14) glasi

ξ =

Frekvencija prigušenih vibracija

b

b

k

a

m

2 2

1−

c a

4b 2 km

c I F JI − F G G J 2m K mH a K H k b

2

2

1.2. Prisilne vibracije – harmonijska sila uzbude

bg

Prisilne vibracije nastupaju uslijed djelovanja vremenski promjenjive sile uzbude F t i za sustav s jednim stupnjem slobode gibanja na slici 1.1 opisane su jednadžbom 1.1. Odziv sustava se razlikuje ovisno o vremenskom karakteru sile F t . Ovdje !e biti analizirane vibracije uslijed harmonijske, periodske, impulsne i neperiodske sile uzbude. Harmonijska se uzbuda "esto susre!e u inženjerskoj praksi, a naj "eš!e potje"e od neuravnoteženih rotiraju!ih masa, bilo da se radi o rotiraju !im dijelovima strojeva, brodskom vijku ili sli"no. Može se iskazati u obliku neposredne sile uzbude, centrifugalne sile uzbude i dinami"kog pomaka podloge.

bg

30

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja 1.2.1. Neposredna sila uzbude

U op!em obliku neposredna sila uzbude ima sljede !i oblik F (t ) = F 0 cos λ t

gdje je F 0 – amplituda sile uzbude, a – frekvencija uzbude. Jednostavnosti radi, najprije !e se razmotriti neprigušeni sustav na slici 1.1. a) Neprigušeni sustav (c = 0) U tom slu "aju jednadžba (1.1) poprima oblik !! + kx = F 0 cos λ t m x

(1.21)

Rješenje jednadžbe (1.21) sastoji se iz homogenog i partikularnog dijela. Homogeno rješenje jednako je odzivu slobodnih vibracija predstavljeno izrazom (1.6) te glasi

bg

x H t = A sin ωt + B cos ω t

dok je partikularno rješenje definirano oblikom uzbudne sile, tj. može se pretpostaviti harmonijskim i u fazi sa silom F t ,

bg

bg

x P t = X cos λ t

gdje je X amplituda koju treba odrediti. Ako se x P t uvrsti u jednadžbu (1.21) dobiva se

bg

X =

gdje je β =

1

F 0

k 1 − β 2

λ ω

Op!e rješenje jednadžbe (1.21) glasi

bg bg bg

x t = xH t + xP t = A sin ω t + B cos ω t +

F 0

1

k 1 − β 2

b

cos λ t

g

Za slu"aj da je sustav zapo "eo vibrirati iz stanja mirovanja t = 0, x = 0, x! = 0 , slijedi da je A = 0, B = −

F 0

1

k 1 − β 2

te se dobiva x ( t ) =

F 0

1 2

k 1 − β

( cos λ t − cos ω t )

(1.22)

31

Teorija konstrukcija Odziv x(t) sadrži nekoliko zna"ajnih sastavnica kao što su: F 0 k

- stati"ki pomak koji bi nastao pod djelovanjem amplitude sile F 0

= x st

1 1 − β 2 cos λ t cosω t

= α

- faktor dinami"nosti, koji daje u"inak dinami"kog poja"anja harmonijske uzbudne sile, - komponenta odziva s frekvencijom uzbude, tj. stacionaran odziv neposredno ovisan o uzbudi, - komponenta odziva s prirodnom frekvencijom sustava koji vibrira, tj. prolazni odziv uslijed u"inka slobodnih vibracija induciranog s po"etnim uvjetima.

b) Sustav s prigušenjem (c = 0) U ovom slu"aju barate se s jednadžbom !! + c x! + kx = F 0 cos λ t m x

(1.23)

Analogno neprigušenom sustavu i ovdje je ukupni odziv x(t) zbroj prolaznog i stacionarnog dijela. Obzirom na ranije opisani u "inak prigušenja na prolazni odziv, ovdje !e se dalje razmatrati samo stacionarni odziv. U tom slu"aju partikularno rješenje jednadžbe (1.23) zbog prigušenja, jer op !enito odziv sustava s prigušenjem nije u fazi s uzbudom, ima dva "lana, tj.

bg bg

x t = xP t = A sin λ t + B cos λ t

Ako se ovaj izraz uvrsti u jednadžbu (1.23), te uvo #enjem ω =

k m

,

c kr = 2mω ,

ξ =

c c kr

,

β =

λ , ω

cλ k

= 2ξβ

slijedi x ( t ) =

F 0 k (1 − β

1 2 2

) + ( 2ξβ )

2

! 2ξβ sin λ t + (1 − β 2 ) cos λ t " # $

(1.24)

odnosno x = X cos(λ t − ε )

(1.25)

gdje je X – amplituda odziva,

X =

32

F 0 k

α

(1.26)

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja – koeficijent dinami"nosti, α =

1 2 2

(1 − β )

+ (2ξβ )

(1.27)

2

– kut faznog pomaka odziva prema uzbudi, ε = arctg

Veli"ine

i

kao funkcije od

i

2ξβ 1 − β 2

(1.28)

prikazane su na slici 1.18.

α

π

180°

ξ=0

ε π /2

90°

ξ=0

0

1

β

1

1

0

β

Slika 1.18. Veli"ine

i kod neposredne uzbudne sile

Pojedine krivulje pokazuju veliki utjecaj faktora prigušenja na amplitudu i kut faznog pomaka u podru" ju frekvencija blizu β = 1 . Slu"aj kada je β = 1 , tj. kada se frekvencija uzbude i prirodna frekvencija podudaraju (λ = ω ) , naziva se rezonancijom. Za kasniju analizu odziva uslijed periodske uzbude prikladno je prikazati odziv u slu "aju ako je harmonijska uzbuda dana u eksponencijalnom obliku,

bg

F t = F0 eiλ t

Ako se ovaj izraz uvrsti u jednadžbu (1.23), stacionarni odziv poprima sljede !i oblik

bg bg

bgbg

x t = H λ F0 eiλ t = H λ F t

(1.29)

bg

Funkcija H λ naziva se kompleksna frekvencijska funkcija odziva i glasi

bg k d1 − β 1+ i2ξ β i

H λ =

2

(1.30)

O njoj !e još biti govora kasnije. 33

Teorija konstrukcija 1.2.2. Centrifugalna uzbuda

Neuravnoteženost masa rotacijskih strojeva je "est izvor uzbude vibracija. Na slici 1.19a prikazan je vibracijski sustav s jednim stupnjem slobode gibanja, koji je pobu #en na vibriranje neuravnoteženom masom m ekscentriciteta e, koja rotira kutnom brzinom . m

F

e

L=mar

λ

M k

e λ t a r

x c

a)

b) Slika 1.19. Centrifugalna uzbuda

Uzbudna sila je izvedena iz centrifugalne (inercijske) sile L, slika 1.19b, kako slijedi 2

L = ma r = meλ

(

)

2 F = L cos λ t = meλ cos λ t

Odgovaraju!a diferencijalna jednadžba gibanja sustava glasi

(

!! + c x! + kx = meλ 2 cos λ t M x

(1.31)

Ova jednadžba je po obliku identi "na jednadžbi (1.23). Stoga se njeno partikularno rješenje može pisati u obliku x = X cos(λ t − ε )

Pritom je: Amplituda vibriranja, X = X st α cf X st =

m M

e

Koeficijent dinami"nosti, α cf =

34

β 2 2 2

(1 − β )

+ (2ξβ )

2

(1.32)

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Kut faznog pomaka, ε = arctg

Veli"ine

cf

i

2ξβ 1 − β 2

(1.33)

prikazane su u frekvencijskom podru " ju na slici 1.20.

α

π

180°

ε π /2

90°

0

β

1

1

1

0

β

Slika 1.20. Veli"ine α cf i ε kod centrifugalne uzbude

1.2.3. Uzbuda podloge

U mnogim slu"ajevima je dinami "ki sustav pobu#en na vibriranje gibanjem podloge, kao što je to prikazano na slici 1.21a. m k

x

x> z

m k ( x- z )

c

mx c( x - z )

z

a)

b) Slika 1.21. Uzbuda podloge

Gibanje podloge je harmonijsko s kružnom frekvencijom , tj. z = Z cos λ t , dok kod mase m razlikujemo apsolutno gibanje x(t ) obzirom na nepomi"ni referentni sustav i relativno gibanje r (t ) = x(t ) − z (t ) obzirom na vibriraju!u podlogu. Diferencijalna jednadžba gibanja ovakvog sustava proizlazi iz uvjeta dinami "ke ravnoteže sila prema slici 1.21b, kako slijedi 35

Teorija konstrukcija !! + c( x! − z ! ) + k ( x − z ) = 0 m x

(1.34)

a) Apsolutno gibanje Ako se u jednadžbi (1.34) prebace "lanovi s lijeve na desnu stranu, proizlazi !! + c x! + kx = kz + c z ! m x

Ova jednadžba se može riješiti uvo #enjem izraza za harmonijsko gibanje u kompleksnom obliku x = Xe iλ t

z = Ze iλ t

te ista glasi 2

x + x = z + i 2ξβ z − β x + i 2ξβ

Rješenje ove jednadžbe ima oblik x =

1 + i 2ξβ 2 2

(1 − β )

z

+ i 2ξβ

U brojniku i nazivniku nalaze se kompleksni brojevi, koji se mogu prikazati u eksponencijalnom obliku, x =

1 + (2ξβ )2

(1 − β 2 )2 + (2ξβ )2

Ze i (λ t +ϑ −ε )

Apsolutno gibanje u realnom obliku, x = X cos(λ t + ϑ − ε )

Amplituda vibriranja, X = Z α x

Koeficijent dinami"nosti, α x =

1 + (2ξβ )2 2 2

(1 − β )

+ (2ξβ )

(1.35)

2

Kut faznog pomaka, ϕ = ε − ϑ

ϑ = arctg 2ξβ

ε = arctg

2ξβ 1 − β 2

(1.36)

Veli"ina x prikazana je dijagramom na slici 1.22. Uo "ljivo je, da je α x = 1 za β = 2 bez obzira na veli"inu prigušenja.

36

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja α x

1

0

2

1

β

Slika 1.22. Veli"ine α x i ϕ apsolutnog gibanja kod uzbude podloge

b) Relativno gibanje Relativno gibanje glasi r = x − z = Z α x cos(λ t + ϑ − ε ) − Z cos λ t

U kompleksnom obliku

(

(

i r = Z α x e i (λ t +ϑ −ε ) − e iλ t = Z α x e iϑ − e iε ⋅ e (λ t −ε )

Realno rješenje, r = Z (α x cos ϑ − cos ε ) cos(λ t − ε )

Obzirom da je cos ϑ = i koriste!i za

x

1

cos ε =

1 + (2ξβ )2

1 − β 2

(1 − β 2 )2 + (2ξβ )2

izraz (1.35) tada proizlazi da zakon relativnog gibanja glasi r = R cos(λ t − ε )

Amplituda vibriranja, R = Z α r

Koeficijent dinami"nosti, α r =

β 2 2 2

(1 − β )

+ (2ξβ )

(1.37)

2

Za veli"ine r i mogu se koristiti dijagrami ovih veli "ina za centrifugalnu uzbudu koji su prikazani na slici 1.20. 37

Teorija konstrukcija 1.2.4. Prenosivost vibracija

Uzbudne sile inducirane radom strojeva ili ure #aja "esto je nemogu!e izbje!i, ali se njihovo djelovanje može smanjiti ugradnjom odgovaraju !ih elasti"nih elemenata, tzv. izolatora. Naime, u op!em slu"aju se djelovanje uzbudne sile F cos λ t prenosi s vibriraju!e mase na podlogu preko elasti"nog elementa i prigušiva "a. Obzirom da su ove dvije sile me #usobno pomaknute u fazi za 90°, amplituda sile prenesene na podlogu je njihova rezultanta F PR =

(kX )2 + (cλ X )2 = kX 1 + (2ξβ )2

Ako se za amplitudu vibriranja X koristi izraz (1.26), tada se dobiva omjer PR =

F PR F 0

=

1 + (2ξβ )2 2 2

(1 − β )

+ (2ξβ )

(1.38)

2

Veli"ina PR naziva se faktor prenosivosti i identi"na je izrazu (1.35) za koeficijent dinami"nosti apsolutnog gibanja. Stoga se veli "ina PR tako#e može prikazati kao funkcija od prema dijagramu na slici 1.22. Ovaj dijagram pokazuje da je PR < 1 samo za slu "aj β > 2 . Drugim rije"ima, sila prenesena na podlogu !e biti manja od uzbudne sile (uspješna

izolacija) jedino u slu"aju kada je β > 2 . U tom podru" ju sustavi s manje prigušenja daju bolju izolaciju (manja vrijednost PR) od ja"e prigušenih sustava. 1.2.5. Princip rada instrumenata za mjerenje vibracija

Instrument za mjerenje vibracija se u osnovi sastoji od seizmi "ke jedinice prikazane na slici 1.23.

x

k

m c

z

Slika 1.23. Instrument za mjerenje vibracija

Pri"vrš!en je za podlogu koja je u stvarnosti vibriraju!e tijelo (stroj, konstrukcija) "ije se vibracije žele izmjeriti. Mjerena konstrukcija vibrira frekvencijom i ima pomak z , a instrument ima prirodnu frekvenciju i apsolutni pomak x . Mjerenje se provodi u vanrezonancijskom podru" ju gdje je omjer β = 38

λ bitno razli"it od 1. ω

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja U tom podru" ju je utjecaj prigušenja zanemariv, dakle ξ = 0 , stoga je prisustvo prigušnog elementa na slici 1.23 uvjetno. Instrumentom se mjere relativne vibracije r = x − vlastite mase u odnosu na vibracije mjerene konstrukcije. Ovisno o odnosu prirodne frekvencije instrumenta prema frekvenciji mjerene konstrukcije , razlikujemo dvije vrste instrumenata : vibrograf i akcelerometar , vidi sliku 1.24. α r r a t e m o r e l e c k a

f a r g o r b i v

1

0.5

1

2

β

Slika 1.24. Podru" je rada mjernih instrumenata

a) Vibrograf Ovaj instrument mjeri amplitudu vibriranja promatrane konstrukcije. Prema slici 1.24 treba biti ispunjen uvjet β > 2 . Uz zanemarivo prigušenje (ξ ≈ 0 ) , relativni koeficijent dinami"nosti r poprima sljede!i oblik α r =

1 1 β 2

Pritom je "lan

1 β 2

−1

u nazivniku zanemariv (zbog β >> 1 ), te proizlazi da je α r ≈ 1 . U tom

slu"aju se izraz za amplitudu relativnog gibanja svodi na R ≈ Z

Dakle, instrumentom registrirani pomak R je ustvari amplituda vibriranja Z promatrane 1 konstrukcije uz pogrešku 2 . β

39

Teorija konstrukcija b) Akcelerometar Ovaj instrument mjeri akceleraciju vibriranja mjerene konstrukcije. Prema slici 1.24 1 mora biti ispunjen uvjet β < . Uz zanemarivo prigušenje (ξ ≈ 0 ) izraz za amplitudu 2 relativnog gibanja poprima oblik R =

β 2 Z

1 − β 2

odnosno, 1 − β 2 )Rω ( Z = λ

!! = −λ 2 Z , što daje Ako su vibracije promatrane konstrukcije harmonijske, tada vrijedi Z

(

!! = −ω 1 − β 2 R Z

Obzirom da je "lan β 2 zanemariv ( β << 1) , dobiva se !! = −ω 2 R Z

Dakle, instrumentom registriran pomak R pomnožen s kvadratom prirodne frekvencije instrumenta je ustvari amplituda akceleracije vibriranja promatrane konstrukcije uz 2 pogrešku β . 1.2.6. Primjeri

PRIMJER 1.13 Stroj mase m pri"vrš!en na nosa"u krutosti EI i zanemarive mase, proizvodi uzbudnu silu F = F 0 cos λ t . U svrhu prigušenja vibracija ugra#en je viskozni prigušiva " koeficijenta prigušivanja c prema slici 1.25a. Odrediti: a) krivulju koeficijenta dinami"nosti α ( β ) i kuta faznog pomaka ε ( β ) za slu"aj bez i s prigušenjem b) amplitudu vibriranja stroja i kut faznog pomaka za slu "aj najve!eg koeficijenta dinami"nosti kao i za slu"aj rezonancije ( β = 1) , c) frekvenciju uzbudne sile za slu"aj vibriranja pod b) Zadano: G = 5 kN (težina stroja), l = 4 m, EI = 118 kNm 2 , F 0 = 0,5 kN, c = 1,43

40

kNs m

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja F F l, EI

m

l, EI

m

k

c

a)

x

c


Zadani sustav se može zamijeniti ekvivalentnim sustavom s jednim stupnjem slobode prema slici 1.25b. U tom slu"aju koeficijent dinami"nosti i kut faznog pomaka prema izrazima (1.27) i (1.28) glase

S prigušenjem (ξ ≠ 0 ) α =

1 2

(1 − β 2 ) + (2ξβ )2

ε = arctg

2ξβ 1 − β 2

Bez prigušenja (ξ = 0 ) α =

1 1 − β 2

ε = 0°

(za β < 1)

ε = neodre#eno (za β = 1) (za β > 1) ε = 180°

41

Teorija konstrukcija Za oba slu"aja

i

su prikazani dijagramima na slici 1.26.

α

α 2,55 2,5

ξ=0

ξ = 0,2

1

1

β

1

180°

β

0,96 1

180°

ε

ε

ξ=0

ξ = 0,2 90° 78°

90°

0

β

1

0

a) bez prigušenja

β

0,96 1

b) s prigušenjem Slika 1.26. Primjer 1.13

Osnovne zna"ajke ekvivalentnog sustava na slici 1.25b su kako slijedi: Krutost k , F 3

7 Fl 96 EI δ 96 EI kN = 25 k = 3 m 7l Prigušenje , k =

F

,

δ =

ξ =

42

c

2 km

= 0,2

l

l

δ

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Prirodna frekvencija

, ω =

Najve!i koeficijent dinami"nosti u izrazu za ,

max

(

2 f ( β ) = 1 − β

df

β d

m

=7

rad s

odre#uje se iz uvjeta minimalnog nazivnika

)2 + 4ξ 2 β 2 β max = 1 − 2ξ 2 = 0,96

što daje

=0

k

α max =

Amplituda vibriranja za

max

max

= 2,55

2ξ 1 − 2ξ

F 0 k

α max = 0,051 m

,

ε max = arctg

Koeficijent dinami"nosti

2

,

X max = X st α max =

Kut faznog pomaka za

1

2ξβ max 1 arctg 1 − 2ξ 2 = 78,2° = 2 ξ 1 − β max

u rezonanciji ( β = 1) , a rez =

1 = 2,5 2ξ

Amplituda vibriranja u rezonanciji, X rez = X st α rez = 0,05 m

Kut faznog pomaka u rezonanciji, ε = 90°

Uo"ljivo je da se u slu "aju neposredne uzbudne sile najve !a vrijednost koeficijenta dinami"nosti nalazi nešto lijevo od rezonantnog pravca β = 1 , vidi sliku 1.26b. Ova ekscentri"nost se pove!ava s pove!anjem prigušenja (ve!i ). U stvarnosti su ova odstupanja zanemarivo mala, te se u praksi, jednostavnosti radi, operira s rezonantnim vrijednostima. Frekvencija uzbude za X max , β max =

Za usporedbu

λ max ω

λ max = ωβ max = 6,7 λ rez = ω = 7,0

rad s

rad s 43

Teorija konstrukcija PRIMJER 1.14 Teret odre#ene mase, ovješen na opruzi krutosti k , vibrira u mediju s viskoznim prigušenjem. Kod slobodnog vibriranja tereta izmjeren je period vibriranja T i omjer vrijednosti dviju uzasopnih amplituda vibriranja

X 1 X 2

. Odrediti amplitudu i kut faznog

pomaka vibriranja tereta za slu"aj neposrednog djelovanja uzbudne sile F = F 0 cos λ t . Zadano: k = 525

X N rad , T = 1,8 s, 1 = 4, F 0 = 2 N, λ = 3 m s X 2

Prije svega, za zadani sustav treba odrediti neke osnovne zna "ajke vibriranja : Prirodna frekvencija

, 2π

ω =

Koeficijent prigušenja

T

= 3,5

rad s

,

Koristimo se izrazom (1.20) za logaritamski dekrement δ = ln

X 1 X 2

= 1,39 =

2πξ 1 − ξ 2

Odatle slijedi ξ = δ

1 2

2

= 0,22

δ + 4π

Omjer frekvencija

, β =


λ = 0,86 ω

podrezonancijsko podru" je

, α =

1 2 2

(1 − β )

= 2,17 + (2ξβ )

2

Amplituda vibriranja X (prema izrazu (1.26)), X =

Kut faznog pomaka

k

= 0,0083 m

(prema izrazu (1.24)), ε = arctg

44

F 0α

2ξβ 1 − β 2

= arctg 1,45 = 55,5°

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja PRIMJER 1.15 Ventilator težine G postavljen je na zglobno oslonjenoj elasti "noj gredi krutosti EI bez težine. U svrhu prigušivanja vibracija ugra #en je viskozni prigušiva " koeficijenta prigušivanja prema slici 1.27a. Definirati krivulju koeficijenta dinami"nosti α ( β ) sa svim karakteristi "nim to"kama, te odrediti amplitudu i kut faznog pomaka vibriranja ventilatora za zadanu uzbudu. o Zadano: G = 1,5 kN, n = 1440 (broj okretaja ventilatora), min l = 4,5 m, e = 0,1 m=

G k

(ekscentricitet rotiraju!e mase),

1 M (rotiraju!a masa), ξ = 0,1, EI = 3614 kNm 2 10 F G

l, EI

l, EI

M

ξ

k

ξ

a)


Zadani sustav na slici 1.27a može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom na slici 1.27b. Osnovne zna"ajke tog sustava jesu: Krutost k , k =

F

δ

=

6 EI l 3

= 238

kN m F l

l

δ

Prirodna frekvencija

, ω =

k m

= 125

rad s 45

Teorija konstrukcija Frekvencija uzbude

, λ =

Omjer frekvencija

nπ

30

= 151

rad s

, β =

λ = 1,22 ω

nadrezonantno podru" je

Sada se mogu odrediti karakteristi "ne to"ke na krivulji α ( β ). To su radna to "ka ( β = 1,22) , rezonantna to"ka ( β = 1) i to"ka maksimuma ( β max ) . Krivulja α ( β ) matemati"ki je opisana izrazom (1.32), α =

β 2

(1 − β 2 )2 + (2ξβ )2

1

=

2

* ' * ' (1 − 1 % + ( 2 ξ % ( β 2 % ( β % ) & ) &

2

Radna to"ka ( β = 1,22 ) , α rad = 2,75

Rezonantna to"ka ( β = 1) , α rez =

1 =5 2ξ

To"ka maksimuma definirana je s odgovaraju !om vrijednosti minimalnog nazivnika u izrazu za , 2

* 1 ' * ξ ' f ( β ) = (1 − 2 % + (( 2 %% ( β % ) & ) β & df

β d

= 0 → β max =

max

2

1 = 1,01 1 − 2ξ 2

To"ka maksimuma ( β = 1,01) , amax = 5,02

Krivulja α ( β ) s karakteristi"nim to"kama prikazana je na slici 1.28.

46

koja se dobiva iz uvjeta

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja α 5,02 5

2,75

1 1,22

1

0

1,01

β


Amplituda vibriranja za zadanu uzbudu (α = 2,75) prema izrazu (1.32),

X =

me α

= 0,02 mm

Kut faznog pomaka ventilatora u odnosu na uzbudu ( β = 1,22) prema izrazu (1.33),

ε = arctg

2ξβ 1 − β 2

= 137,5°

47

Teorija konstrukcija PRIMJER 1.16 U svrhu odre#ivanja vibracijskih zna"ajki konstrukcije mase M , na istu je pri "vrš!en uzbu#iva" vibracija s dvije suprotno rotiraju!e mase prema slici 1.29. Ustanovljeno je, da su kod broja okretaja n1 uzbu#iva"a njegove ekscentri"ne mase u gornjem vršnom položaju u trenutku kada konstrukcija prolazi kroz položaj stati "ke ravnoteže i da je kod tog broja okretaja amplituda vibriranja X 1. Ako je zadan moment ekscentri "nosti m ⋅ e za pojedinu masu uzbu #iva"a, odrediti sljede!e: a) prirodnu frekvenciju konstrukcije b) koeficijent prigušenja c) amplitudu vibriranja X 2 i kut faznog pomaka 2 kod broja okretaja n2 uzbu#iva"a Zadano: M = 181,4 kg, n1 = 900

o o , X 1 = 21,6 mm, m ⋅ e = 0,0921 kgm, n 2 = 1200 min min

M

k

c


Obzirom da je kod broja okretaja n1 uzbudna sila najve !a (gornji vršni položaj), a pomak vibriraju!e konstrukcije jednak nuli (stati "ki ravnotežni položaj), ove dvije veli "ine imaju pomak u fazi za kut od 90°. Pogledom na sliku 1.18 proizlazi, da ε = 90° odgovara rezonanciji, tj. β 1 = 1 . To zna"i, da je u tom trenutku ω = λ 1 . Stoga, prirodna frekvencija konstrukcije glasi f =

n1π ω = = 15 Hz 2π 30 ⋅ 2π

U slu"aju rezonancije ( β = 1) izraz (1.32) za amplitudu vibriranja poprima oblik X =

X st

2ξ

Odatle proizlazi koeficijent prigušenja ξ =

48

X st

2 X 1

=

m⋅e

2 MX 1

= 0,0118

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Poznavaju!i sada osnovne zna "ajke vibracijske konstrukcije, mogu !e je primjenom izraza (1.32) i (1.33) odrediti tražene zna "ajke vibriranja i za broj okretaja n2 uzbu#iva"a. Slijedi Omjer frekvencija

2

, β 2 =

n2 n1

= 1,33

Amplituda vibriranja X 2, X 2 = X st

Kut faznog pomaka

2

β 22 2 1 − β 22

(

)

= 1,49 mm

+ (2ξβ 2 )

2

, ε 2 = arctg

2ξβ 2 = 177,7° 1 − β 22

PRIMJER 1.17 Homogeni disk težine G u "vrš!en je na "eli"noj osovini bez težine promjera d i duljine 2l na sredini njenog raspona izme #u ležajeva. Odrediti najnižu kriti"nu brzinu osovine. Pretpostaviti, da je osovina slobodno oslonjena u ležajevima. Zadano: l = 0,61 m, d = 0,032 m, G = 45 N, E = 2,1 ⋅10 8

kN m2

Pod najnižom kriti#nom brzinom osovine se podrazumijeva njena kutna brzina rotacije koja odgovara najnižoj prirodnoj frekvenciji fleksionih vibracija osovine, ω kr = ω =

k m

U gornjem izrazu masa m predstavljena je masom diska, m=

G g

= 4,5 kg

a krutost k je odre#ena progibom osovine u sredini (vidi Primjer 1.15), 6 EI 6 Ed 4π k = 3 = = 267,96 Nm 64l 3 l Prema tome, najniža kriti "na brzina osovine glasi n kr = ω

30 π

=

k m

⋅

30 π

= 759

o min

49

Teorija konstrukcija PRIMJER 1.18 Cilindar težine G vezan je preko opruge krutosti k za pomi"nu podlogu koja vrši harmonijsko gibanje z = Z cos λ t prema slici 1.30a. U cilindru se može gibati klip koji je vezan za nepomi "nu podlogu. Izme#u klipa i stijenke cilindra javlja se viskozno prigušenje. Odrediti: a) zakon apsolutnog i relativnog gibanja cilindra, x (t ) i r (t ), i pripadne fazne pomake u odnosu na vibriranje pomi "ne podloge b) koeficijent prigušenja c u cilindru kod amplitude apsolutnog vibriranja X Zadano: G = 100 N, k = 1000

N rad , Z = 0,022 m, λ = 15 , X = 0,015 m m s

c x c

c

x> z

m

G

mx

m x

k

k

k ( x- z )

z

z

a)

b)

c)


Vibriraju!i sustav na slici 1.30a može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom na slici 1.30b. Postavljanjem uvjeta dinami"ke ravnoteže sila prema slici 1.30c, !! + c x! + k ( x − z ) = 0 m x

dobiva se odgovaraju!a jednadžba gibanja !! + c x! + kx = kz m x

Rješenje gornje jednadžbe jest ujedno i zakon apsolutnog gibanja cilindra. Obzirom da je ova jednadžba po obliku jednaka jednadžbi (1.23), rješenje glasi x = X cos(λ t − ε )

Amplituda vibriranja X , X = Z α x


x

, α x =

50

1

(1 − β 2 )2 + (2ξβ )2

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Kut faznog pomaka

x

, ε x = arctg

Za

x

i

x

2ξβ 1 − β 2

mogu se koristiti dijagrami na slici 1.18 za slu "aj neposredne uzbudne sile.

Zakon relativnog gibanja dobiva se iz izraza r = x − z = α x Z cos(λ t − ε x ) − Z cos λ t

U kompleksnom obliku

(

r = Z α x e

i (λ t −ε x )

)

(

ε (λ ε ) − e iλ t = Ze i t x α x − e i x −

)

Iz kompleksnog oblika može se izdvojiti realna komponenta r = Z cos(λ t − ε x )(α x − cos ε x )

Obzirom da je cos ε x = α x (1 − β 2 , dobiva se r = R cos(λ t − ε x )

Amplituda vibriranja R, R = Z α r


r

, α r =

Kut faznog pomaka

r

β 2

(1 − β 2 )2 + (2ξβ )2

, ε r = arctg

2ξβ 1 − β 2

Napomena:

u slu"aju kada se vibracije podloge prenose na vibriraju !u masu putem elasti"nog elementa (opruga), tada su kutevi faznog pomaka apsolutnog i relativnog gibanja te mase identi "ni, s time da se uzbuda podloge kod apsolutnog gibanja iskazuje kao neposredno djeluju !a uzbudna sila, a kod relativnog gibanja kao centrifugalna uzbuda.

Faktor prigušenja

može se izraziti preko amplitude X , Z

ξ =

X

(

− 1 − β 2

)2

2 β

51

Teorija konstrukcija Prirodna frekvencija cilindra

, g

ω = k

G

= 9,9

rad s

te je

β =

λ = 1,51 ω

Proizlazi, da je bezdimenzijski faktor prigušenja , ξ = 0,226

odnosno koeficijent prigušenja

c = 2k ξ = 452

Ns m

PRIMJER 1.19 Cilindar mase m , vezan oprugom krutosti k za nepomi"nu podlogu, pobu#en je na vibriranje uslijed viskoznog trenja prilikom harmonijskog gibanja klipa po zakonu z = Z cos λ t prema slici 1.31a. Odrediti apsolutno i relativno gibanje cilindra s odgovaraju !im kutevima faznog pomaka u odnosu na gibanje klipa. Zadano: m, k , c, Z , λ z

x> z

x

z

m k c

kx

mx

c( x - z )

b)

a) Slika 1.31. Primjer 1.19

Vibriraju!i sustav na slici 1.31a može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom na slici 1.31b. Postavljanjem uvjeta dinami"ke ravnoteže sila,

!! + c( x! − z ! ) + kx = 0 m x proizlazi odgovaraju!a jednadžba gibanja

!! + c x! + kx = c z ! m x Rješenje ove jednadžbe x (t ) je ujedno i zakon apsolutnog gibanja cilindra. Gibanje podloge z (t ) i cilindra x (t ) su harmonijska gibanja koja se mogu prikazati u kompleksnom obliku z = Ze iλ t

x = Xe iλ t

Uvrštenjem ovih izraza u gornju jednadžbu slijedi x =

52

i 2ξβ

z = Z

(1 − β ) + i 2ξβ 2

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

*

π

)

2

i ( λ t +

2ξβ

e 2

'

− ε %

&

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Odatle se dobiva realni oblik apsolutnog gibanja cilindra x = X cos(λ t − ϕ )

Amplituda vibriranja X , X = Z α x


x

, 2ξβ

α x =

Kut faznog pomaka

(1 − β 2 )2 + (2ξβ )2

, ϕ = ε −

π

2

Zakon relativnog gibanja cilindra se odre#uje iz * )

r = x − z = α x Z cos( λ t +

π

2

' &

− ε % − Z cos λ t

U kompleksnom obliku * i * ( λ t + π −ε '% ' * i π iε ' 2 & iλ t % i (λ t − ε ) ( ( ) α e 2 − e % −e = Ze r = Z α x e ( x % ( % ) & ) &

U realnom obliku * )

r = Z cos(λ t − ε )(α x cos

π

2

' &

− cos ε %

Obzirom da je 1 − β 2

cos ε =

2 2

(1 − β )

cos

+ (2ξβ )

2

π

2

=0

slijedi realni oblik relativnog gibanja cilindra r = R cos(λ t − ε )

Amplituda vibriranja R, R = Z α r


r

, α r =

β 2 − 1

(1 − β 2 )2 + (2ξβ )2 53

Teorija konstrukcija Kut faznog pomaka

, ε = arctg

2ξβ 1 − β 2

PRIMJER 1.20 Stroj mase m leži na elasti "nim osloncima ukupne krutosti k i ima neuravnoteženi rotacijski element koji stvara uzbudnu silu amplitude F 0 kod broja okretaja n. Uz pretpostavku prigušenja odrediti: a) amplitudu vibriranja X b) koeficijent prenosivosti PR c) prenesenu silu F PR Zadano: m = 100 kg, k = 700

kN o , F 0 = 350 N, n = 3000 , ξ = 0,2 m min

Frekvencija uzbude f , f =

n

60

= 50 Hz

Prirodna frekvencija f 0, f 0 =

Omjer frekvencija

1 k = 13,32 Hz 2π m

, β =

f f 0

= 3,75

ispunjen uvjet za uspješnu izolaciju

Amplituda vibriranja X , X =

F 0

1

k

2 2

(1 − β )

= 0,038 mm + (2ξβ )

2

Koeficijent prenosivosti PR, PR =

1 + (2ξβ )2 2 2

(1 − β )

+ (2ξβ )

= 0,137 2

Prenesena sila na podlogu F PR, F PR = F 0 ⋅ PR = 47,9 N

54

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja PRIMJER 1.21 Rotor turbine mase M u"vrš!en je na "eli"noj osovini promjera d na polovici raspona l izme#u ležaja. Rotor ima neuravnoteženost mase m ⋅ e . Odrediti silu prenesenu na ležajeve u slu"aju broja okretaja osovine n. Kolika bi bila prenesena sila u slu "aju da osovina ima promjer d 1? Pretpostaviti zglobno oslonjenu osovinu na mjestu ležaja. Zadano: M = 13,6 kg, d = 0,0254 m, l = 0,255 m, m ⋅ e = 0,002879 kgm, n = 6000 11

E = 2,1 ⋅ 10

o , min

N , d 1 = 0,01905 m m2

Frekvencija uzbude f , f =

n

60

= 100 Hz

Krutost osovine k , 48 EI 48 Ed 4π N k = 3 = = 12267374 3 m 64l l Prirodna frekvencija f 0, f 0 =

Omjer frekvencija

1 k = 151,23 Hz 2π m

, β =

f f 0

= 0,66

nepovoljno za izolaciju

Nema prigušenja (ξ = 0 ) , te koeficijent prenosivosti PR glasi PR =

1 1 − β 2

= 1,77

Prenesena sila na ležaje F PR, 2 F PR = PRmeλ = 2010 N

U slu"aju promjera osovine d 1 mijenja se krutost k osovine, k 1 = 388095

N m

55

Teorija konstrukcija te se mijenjaju i ostali parametri,

( f 0 )1 = β 1 = PR =

1 k 1 = 26,9 Hz 2π M

f

( f 0 )1

= 3,7

1 β 2 − 1

povoljno za izolaciju (ve!e od 2 )

= 0,37

F PR = 420 N

Zaklju#ak : u slu"aju osovine manjeg promjera ( d 1) prenesena sila na ležaje je znatno manja što zna"i da je promjenom krutosti osovine u "inak izolacije vibracija na ležaje bitno poboljšan.

1.3. Prisilne vibracije – periodska sila uzbude Pod periodskim vibracijama se u op !em slu"aju podrazumijevaju neharmonijske vibracije koje se periodski ponavljaju, a nastaju uslijed periodske sile uzbude F t , slika 1.32.

bg

F (t )

t

T F

Slika 1.32. Periodska uzbuda

Izrazi za odziv uslijed harmonijske uzbude mogu se koristiti za odre #ivanje odziva uslijed proizvoljne periodske uzbude. U tu se svrhu periodska uzbuda samo treba izraziti u obliku Fourierovog reda; odziv uslijed svakog "lana reda je odziv uslijed harmonijske uzbude, a po na"elu superpozicije ukupni odziv je zbroj odziva uslijed svakog "lana reda posebno.

56

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja 1.3.1 Sila i odziv u trigonometrijskom obliku

Funkcija uzbude F(t) prema slici 1.32 može se izraziti u obliku Fourierovog reda, ∞

bg

F t = F0 +

+

F an cos

n =1

2π n T F

∞

t+

2π n

+ F sin T bn

n =1

t

(1.39)

F

gdje je T F – period uzbude, a koeficijenti reda glase F 0 =

T F

1

F an = F bn =

bg

F t dt

T F

0

zbg zbg

T F

2

F t cos

T F

2π n T F

0

T F

2

F t sin

T F

2π n

0

T F

tdt

(1.39a)

tdt

Stacionarni odziv neprigušenog sustava u skladu s jednadžbom (1.22), glasi

O 1 F + + F cos λ t + F sin λ t g bg k L b M P N 1 − β Q

x t =

∞

1

0

2

n =1

an

n

bn

(1.40)

n

n

dok odziv sustava s prigušenjem u skladu s jednadžbom (1.24) ima oblik , * ! Fan 2ξβ n + Fbn (1 − β n2 ) " sin λn t + '∞ 1. 1 $ (# % . (1.41.) x ( t ) = / F 0 + + 2 2 ( 2 %0 2 k . n =1 (1 − β ) + ( 2ξβ ) ( + ! F (1 − β ) − F 2ξβ " cos λ t % . an n bn n n n n $ ) # &2 1

gdje je β n =

λ n 2π , λ n = nλ 1 , λ 1 = ω T F

1.3.2. Sila i odziv u kompleksno – eksponencijalnom obliku

Periodska se uzbuda može tako #e prikazati u kompleksno – eksponencijalnom obliku ∞

bg + F e

F t =

iλ nt

n

n =1

F n =

1 T F

zbg

T F

(1.42)

F t e −iλ n t dt

0

U gornjoj sumi za svaki pozitivni n recimo n = m postoji i odgovaraju!i n = −m . To i n t zna"i da za svaki indeks m u sumi postoji par kompleksnih "lanova sume e iλ n t i e − λ "iji se imaginarni dijelovi me#usobno poništavaju. To i mora tako biti, jer je F t realna funkcija uzbude.

bg

57

Teorija konstrukcija Sada se i odziv može prikazati u eksponencijalnom obliku, ako se poslužimo izrazom (1.29) i na"elom superpozicije, ∞

bg + H bλ gF e

x t =

n

iλ n t

(1.43)

n

n =−∞

gdje kompleksna frekvencijska funkcija odziva H( n ) u skladu s izrazom (1.30) sada glasi

b g k d1 − β 1+ i2ξβ i

H λ n =

(1.44)

2

n

n

1.3.3. Harmonijska analiza periodskih vibracija

bg

Kao što smo vidjeli iz izraza (1.40) ili (1.41), periodske vibracije x t mogu se prikazati u obliku konstante i beskona"nog reda harmonijskih funkcija. Pritom su konstanta i koeficijenti reda funkcije periodske uzbude F t , a frekvencije pojedinih "lanova reda 2π višekratnici osnovne frekvencije uzbude . Me#utim, u mnogim slu "ajevima (npr.

bg

T F

bg

mjerenja) poznata je funkcija odziva x t periodskih vibracija nekog sustava i njena 2π frekvencija ω = , slika 1.33, a da prethodno nije odre #ena funkcija uzbude F t . Tada se

bg

T funkcija x t tako#e razlaže na svoje sastavne harmonijske komponente, te se takav postupak

bg

naziva harmonijskom analizom. x(t )

t T

T

T

Slika 1.33. Odziv periodskih vibracija

bg xb tg ω t + ϕ g = a + + X sinb

Dakle, poznata funkcija odziva x t može se razviti u red oblika ∞

0

ω k = kω ,

58

k

k

k

k =1

k = 1,

2, 3, ...

(1.45)

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Red (1.45) se naziva Fourierov red. Za prakti"nu primjenu je pogodniji oblik ∞

bg + ba cosω t + b sin ω t g

x t = a 0 +

k

k

k

k

(1.46)

k =1

gdje je X k =

a k2 + bk2

,

ϕ k = arctg

bk a k

(1.47)

Fourierovi koeficijenti ak i bk mogu se odrediti na osnovu izraza a0 = a k = bk =

1

T

T 0

2

zbg zbg T

T 0

2

bg

x t dt x t cosω k t dt

(1.48)

T

T 0

x t sin ω k t dt

Konstanta a0 se obi"no ozna"ava kao srednja vrijednost vibracija. $lan reda

bg

b

x1 t = X 1 sin ω 1 t + ϕ 1

g

predstavlja vibracije prvog reda, tj. prvi harmonik vibriranja. $lanovi reda

bg

b

x k t = X k sin ω k t + ϕ k

g

predstavljaju vibracije viših redova, tj. k -te harmonike vibriranja.

bg

Ako je periodska funkcija x t simetri#na, kao na primjer niže prikazana, x

t

tada u izrazu (1.46) otpadaju "lanovi s antisimetri"nom funkcijom sinus, odnosno bk = 0 .

59


bg

Ako je periodska funkcija x t antisimetri#na, kao na primjer niže prikazana, x

t

tada u izrazu (1.46) otpadaju "lanovi sa simetri"nom funkcijom cosinus, odnosno a k = 0 . U praksi se periodske funkcije x t ne razvijaju u beskona "ne redove (1.46), ve ! se

bg odabire odre#eni broj "lanova reda x b t gkoji !e u dovoljno dobrom približenju modelirati zadanu periodsku funkciju xb . t g n

1.3.4. Harmonijska analiza izmjerenih periodskih veli ! ina

U praksi se "esto javljaju periodske, neharmonijske sile ili pomaci, koji se ne mogu definirati matemati"ki, ve! se odre#uju mjerenjem. U tom slu"aju je periodska funkcija koja opisuje navedene pojave dana u obliku digitalnog zapisa, gdje su na raspolaganju nizovi diskretnih broj"anih vrijednosti, obi"no u tabli"nom obliku. Sada, za odre #ivanje Fourierovih koeficijenata više nije mogu !e provesti integraciju prema izrazima (1.48), ve ! se provodi približna harmonijska analiza, gdje se beskona "ni Fourierov red zamjenjuje s kona "nim trigonometrijskim polinomom n

xn = a0 +

a cos +G H k

k =1

2 k π T

t + bk sin

2 k π T

Jt K

(1.49)

Za odre#ivanje Fourierovih koeficijenata potrebno je promatrati vrijednosti funkcije x u m ekvidistantnih vremenskih odsje "aka t i , gdje je t i =

bi -1gT ,

i = 1, 2, ... , m,

m -1

m ≥ 2n + 1

U tom slu"aju se izrazi (1.48) zamjenjuju s

a0 = ak =

1 m

2

m

t + xbg i

i =1

i -1

m

2π , t cos k + xbg m m -1 i

k = 1, 2, ..., n

i =1

bk =

2

2π , t sin k + xbg m m -1 i

i =1

60

i -1

m

k = 1, 2, ..., n

(1.50)

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja 1.3.5. Frekvencijski spektar periodske funkcije

Amplitude X k u izrazu za Fourierov red (1.45) mogu se prikazati u ovisnosti o kružnoj frekvenciji ili frekvenciji f . U tom slu"aju se kaže, da su periodske vibracije prikazane u frekventnom podru" ju, slika 1.34, a dobiveni dijagram se naziva spektar amplituda periodskih vibracija x t .

bg

X k

osnovne vibracije

ω 1

2

3

4

5

2ω 1

3ω 1

4ω 1

5ω 1

harmonici vibriranja

ω

Slika 1.34. Spektar amplituda periodskih vibracija

bg

Prikaz amplituda X k nije još potpuna informacija o x t , jer nedostaje spektar nultog faznog kuta k . Najjednostavniji na"in da se to postigne, je da se pomo !u Fourierovih koeficijenata ak i bk fazni kut k odredi primjenom formule (1.47) i tako #e prikaže u frekventnom podru" ju na isti na"in kao i X k na slici 1.34. Ovo je uobi "ajeni na"in frekvencijske analize periodskih vibracija dobivenih mjerenjem, gdje se odre #uju zna"ajke osnovnih vibracija i viših harmonika, te je postupak kao takav danas ve ! ugra#en i u najjednostavnije analizatore vibracija.

61

Teorija konstrukcija 1.3.6. Primjeri

PRIMJER 1.22

bg

Neka je sustav na slici 1.35a optere !en periodskom silom uzbude F t "ija je

bg

vremenska funkcija prikazana na slici 1.35b. Odrediti funkciju odziva x t uz uvjet da je T F T

=

4 . 3 F (t )

F 0 = sin

2π T F

t

x(t )

k

F (t )

F 0

m T F /2

t

T F

a)

b) Slika 1.35. Periodska sila uzbude u primjeru 1.22

Koriste!i izraze (1.39a) Fourierovi koeficijenti za silu uzbude glase T F

F 0 =

1 T F

z z z 2

F 0 sin

0

2π T F

tdt =

F 0

π

0 R | F sin t cos tdt = S F 2 T T | Tπ 1 − k F R 2π 2π k | F sin t sin tdt = S2 T T |0 T

T F

F ak =

2 T F

2

2π

2π k

0

0

0

F

2

F

k -

neparan

k -

paran

T F

F bk =

2 T F

2

0

k = 1

0

0

F

F

k > 1

Ako se ovi izrazi uvrste u jednadžbu (1.39) dobiva se sila uzbude u obliku reda π 2π 2 2π 2 2π 2 2π I 1 + sin t − cos 2 t − cos 4 t − cos 6 t ... J bg F π G H 2 T 3 T 15 T 35 T K

F t =

0

F

62

F

F

F

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja a ako se isti izrazi uvrste u jednadžbu (1.40) dobiva se odziv za ovakvu silu uzbude u obliku reda x ( t ) =

gdje je λ 1 =

2π T F

, β 1 =

F 0 * 8π 8 1 ' 1 + sin λ1t + cos λ2t + cos λ 4 t + " % ( 7 15 60 k π ) & T

3 , 4

=

T F

β2 =

3 , 2

β 3 = 3 , ...

PRIMJER 1.23 Periodske vibracije na slici 1.36, prikazane u obliku "etvrtaste krivulje u vremenskom podru" ju, potrebno je razviti u red harmonijskih funkcija. Prikazati grafi "ki zadanu funkciju i njen razvoj u redove s razli "itim brojem "lanova. Zadano: X , T x(t ) X

t

T/3 T

Slika 1.36. Primjer 1.23, "etvrtasta krivulja

Radi se o nesimetri "noj funkciji, te prema izrazima (1.48) Fourierovi koeficijenti glase a0 =

X dt =

T

0

z z

T 3

2

a k = bk =

T 3

1

T

X cos

0 T 3

2 T

X sin

0

X

3

2 k π T

2 k π T

t dt =

X k π

t dt = −

sin

2 k π 3

Fcos 2k π − 1 JI G K k π H 3 X

bg

Dakle, funkcija x t razvijena u kona"an Fourierov red prema (1.46) s n "lanova reda glasi

O I J P K Q 3 Na slici 1.37 prikazana je zadana periodska funkcija xb i njen razvoj u red x b s t g t g x n =

X

+

X

n

1

L

sin + k M π N k =1

2 kπ 2 k π 2 kπ 2k π cos t − cos t − 1 ⋅ sin T T 3 3

G H

n

n = 1,

5, 10, 20, 40, 80 "lanova. Vidljivo je, da su s pove !anjem broja "lanova reda n krivulje reda xn t sve bliže zadanoj periodskoj funkciji x t .

bg

bg

63


Slika 1.37. Primjer 1.23, razvoj "etvrtaste funkcije u Fourierove redove

PRIMJER 1.24

bg

Mjerenjem je ustanovljena antisimetri "na periodska veli"ina x t koja je prikazana na slici 1.38. Za istu je potrebno izvršiti harmonijsku analizu do uklju "ivo 4. harmonika vibriranja. Zadano: X , T x(t )

X t T


64


bg odre#ivanje vrijednosti funkcije xb u m vremenski ekvidistantnih to "aka unutar t g

Harmonijska analiza izmjerene funkcije x t obuhva !a: a)

jednog perioda T b) odre#ivanje Fourierovih koeficijenata za pojedine harmonike c) prikaz pojedinih harmonika izmjerene funkcije s odgovaraju!im amplitudama unutar perioda T d) prikaz spektra amplitude izmjerene funkcije u frekvencijskom podru " ju

b g

Da bi se izvršila harmonijska analiza izmjerene funkcije do 4. harmonika n = 4 , potrebno je poznavati njenu vrijednost u m ≥ 2n +1 = 9 ekvidistantnih vremenskih to"aka unutar perioda T , što je prikazano u slijede !oj tablici i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t i T

0

0,125

0,25

0,375

0,5

0,625

0,75

0,875

1,0

xi

0

X

X

X

0

- X

- X

- X

0

Sada se prelazi na odre#ivanje Fourierovih koeficijenata za pojedine harmonike. Obzirom da je izmjerena funkcija antisimetri "na, otpadaju koeficijenti ak . Preostaje da se odrede koeficijenti bk prema izrazu (1.50), 2 9 i -1 2π bk = + xi sin k 9 i =1 8

k = 1,

2, 3, 4

Odatle proizlazi da je b1 = 1,07 X

b2 = 0

b3 = 0,18 X

b4 = 0

Sada se mogu odrediti zna"ajke pojedinih harmonika. Slijedi: k = 1

X 1 = b1 = 1,07 X

T1 = T

k = 2

X 2 = b2 = 0

T 2 =

k = 3

X 3 = b3 = 0,18 X

k = 4

X 4 = b4 = 0

1 T 2 1 T3 = T 3 1 T 4 = T 4

(nema zna"aja)

(nema zna"aja)

Izmjerena funkcija i njeni aktivni harmonici prikazani su u vremenskom podru " ju unutar perioda T na slici 1.39. Vidljivo je, da je 1. harmonik dominantan u odnosu na 3. harmonik. Razlog tome je, što isti ve ! vrlo dobro aproksimira originalnu funkciju i po obliku i po frekvenciji.

65

Teorija konstrukcija x (t )

x(t )

k = 1 k = 3 X t

- X T

Slika 1.39. Primjer 1.24, izmjerena funkcija i njeni harmonici

bg

Kona"no, na slici 1.40 prikazan je amplitudni spektar izmjerene funkcije x t u frekventnom podru" ju. X k X

1

1

2

3

4

k

Slika 1.40. Primjer 1.24, amplitudni spektar

PRIMJER 1.25

bg

Periodsku funkciju x t prema slici 1.41 potrebno je razviti u kona"ni Fourierov red s jednim i dva aktivna "lana, te prikazati istu sa svojim harmonicima u vremenskom podru " ju. Zadano: X , T x(t )

X T


66

t

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Zadana funkcija ima sljede!i oblik 0 ≤ t ≤ T

2

bg 2T X t + X 2 X xb t g t − X = T

T

x t = −

2

≤ t ≤ T

Budu!i da je zadana funkcija simetri "na, u harmonijskoj analizi je bk = 0 . Ostali Fourierovi koeficijenti se za pojedine harmonike odre #uju prema izrazima (1.48), T

Idt = 1 Y J T T K 2 2 2π 2 t I F−1 + 2 t JIcos 2π t dt = 4 X 1 − 2 Jcos t dt + z X G = H T K T π T T K T T

a0 =

2

zFGH zFGH 2

X

1− 2

t

0

T

a1

2

T

0

T

X

2

2 T

a2

F1 − 2 t JIcos 4π t dt + 2 z F−1 + 2 t JIcos 4π t dt = 0 X G X G = z H T K T T H T K T T 2

2

T

0

T

2 T

a3 =

6π 2 6π 4 t I t I F F 1 2 cos d 1 2 cos d t t X t t − + − + = G J G J T zH T K T T zH T K T 9π 2

2

T

X

2

0

X

T

2

bg

Dakle, zadana funkcija x t razvijena u Fourierov red s jednim harmonikom glasi

bg 21 X + π 4

x1 t =

2

X cos

2π T

t

a s dva harmonika

bg 12 X + π 4 X cos 2T π t + 9π 4 X cos 6T π t t g t g t g Funkcije xb , x b i x b prikazane su u vremenskom podru" ju na slici 1.42. x3 t =

1

2

2

3

x(t )

x(t ) x (t ) 1

x (t )

X

3

T

t

Slika 1.42. Primjer 1.25, funkcije x (t ), x 1(t ) i x 3(t ) u vremenskom podru" ju

67


1.4. Prisilne vibracije – impulsna sila uzbude Impulsna sila uzbude sastoji se od samo jednog glavnog impulsa, slika 1.43, i op !enito je vrlo kratkog trajanja. F (t )

t 1

t

faza I

faza II

Slika 1.43. Impulsna sila uzbude

Impulsne sile uzbude ili tzv. šok sile vrlo su važne kod projektiranja odre #enih vrsta strukturnih sustava, poput vozila, samohodnih dizalica, trupa podmornica, zidova skloništa, itd. Prigušenje nema ve"eg zna#aja kod postizanja najve!ih odziva uslijed ovakve uzbude, zato jer najve!i odziv nastupa u vrlo kratkom vremenu, tj. prije nego što sile prigušenja mogu absorbirati ve!u energiju strukture. Stoga !e se ovdje razmatrati samo odziv bez prigušenja uslijed impulsne sile uzbude. Iz slike 1.43 vidljivo je, da impulsna sila ima svoje vrijeme trajanja t 1, te da se odziv uslijed ove sile može podijeliti u dvije faze. Tokom faze I vibriraju !i sustav je izložen djelovanju impulsne sile, pa !e odziv u fazi I biti jednak sumi homogenog i partikularnog rješenja jednadžbe (1.1) bez prigušenja, dok u fazi II nakon prestanka djelovanja sile, sustav ima slobodne vibracije, gdje !e odziv ovisiti o po "etnim uvjetima u trenutku t = t 1 prema izrazu (1.6), t ~ x! bg ~ sin ω ~t + xbg t cosω t ch ω

x t =

1

(1.51)

1

gdje je uvedena nova vremenska varijabla ~t = t − t 1 . Zna"ajke odziva uslijed impulsne sile uzbude ovise o omjeru vremena djelovanja sile t 1 i prirodnog perioda vibriranja sustava T . U slu"aju dugotrajne impulsne sile

I HT > 0,25K t 1

odziv sustava !e se odvijati u fazi I, tj. za vrijeme djelovanja sile, te !e bitno ovisiti o samoj vremenskoj funkciji sile. U slu"aju kratkotrajne impulsne sile

68

t I odziv !e se HT < 0,25K 1

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja odvijati u fazi II, tj. nakon prestanka djelovanja sile, te !e bitno ovisiti o brzini i pomaku u "asu prestanka djelovanja sile, i ne !e ovisiti o obliku sile uzbude ve ! samo o veli "ini njenog impulsa. t 1

bg

I =

F t d t 0

Mi !emo se ovdje dalje baviti samo odzivom uslijed kratkotrajne impulsne sile, te !emo prikazati približan postupak za odre#ivanje odziva, koji !e kasnije biti korišten kod analize odziva uslijed neperiodske uzbudne sile.

1.4.1. Približan postupak odre" ivanja odziva uslijed kratkotrajne impulsne sile

Ovaj postupak se temelji na gornjem zaklju "ku vezanom za impuls. Stavak o impulsu za masu m glasi t 1

m∆x! =

bg bg

F t − kx t dt 0

gdje je ∆ x! promjena brzine uslijed djelovanja sile. Za slu "aj kratkotrajne impulsne sile t 1 → 0 pomak x t 1 je zanemarivo mali, pa stoga se iz gornjeg izraza može izostaviti "lan s

b g

bg elasti"nom silom kxb . Dakle, nadalje se polazi od približnog izraza t g t 1

bg

m∆x! =

F t dt 0

odnosno ∆ x! =

1 m

t 1

bg

F t dt 0

Za odziv se koristi izraz (1.51). Ako je na po "etku djelovanja impulsne sile sustav bio u mirovanju, tada je ∆ x! = x! t 1 i uzevši u obzir zanemarivost pomaka na kraju djelovanja sile

bg

bg, navedeni izraz (1.51) prelazi u oblik

x t 1

1 ~ x t =

t 1

F b tg dt Jsin ω t ch mω G H K

(1.52)

0

Prema tome, izraz (1.52) je približna formula za odre#ivanje odziva uslijed impulsne sile uzbude, koja je naro "ito pouzdana u slu "aju kratkotrajnog djelovanja impulsne sile, tj. za t 1

T

< 0,25 .

69

Teorija konstrukcija 1.4.2. Primjeri

PRIMJER 1.26. Za vibracijski sustav prema slici 1.44a odrediti funkciju odziva približnim postupkom u slu"aju djelovanja impulsne sile uzbude F t prikazane na slici 1.44b. Nakon toga odrediti najve!u vrijednost odziva i sile prenesene na podlogu.

bg

Zadano: G = 8900 kN , k = 8949

F (t )

kN m

F (t )

G x

k

F 0=220 kN

0,1s

0,1s

a)

0,1s

t


Sustav na slici 1.44a ima prirodnu frekvenciju k ⋅ g

ω =

G

= 3,14

rad s

Trajanje impulsne sile prema slici 1.44b iznosi t 1 = 0,3 s , te je njen impuls jednak površini ispod izlomljene crte na istoj slici, tj. t 1

bg

F t dt = 44 kNs

I = 0

Dakle, prema formuli (1.52) proizlazi da je odziv približno

bg Gg ω I sin ω ~t

x t =

gdje je ~t = t − 0,3 s

70

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Najve!a vrijednost odziva nastaje kada je sin ω ~t = 1, tj. x max = 0,0154 m

m s2 Na podlogu se sila prenosi preko elasti "nog elementa. Stoga je ta sila jednaka sili u opruzi. U prethodnim izrazima uzeto je g = 9,81

Najve!a sila u opruzi iznosi Fk max = k ⋅ xmax = 137 kN

Budu!i da je period slobodnih vibracija ovog sustava T =

omjer

t 1 T

2π ω

= 2 s

iznosi t 1 T

=

0,3 = 0,15 2

Ovaj omjer je manji od 0,25, pa je impulsna sila u ovom primjeru s kratkotrajnim djelovanjem. Stoga se primijenjen približan postupak za odre #ivanje odziva može smatrati pouzdanim.

1.5. Prisilne vibracije – neperiodska sila uzbude Postupak za približno odre#ivanje odziva uslijed impulsne sile uzbude dan jednadžbom (1.52) može se koristiti kao osnova za odre #ivanje odziva uslijed proizvoljne neperiodske sile uzbude F t prikazane na slici 1.45.

bg

F (t )

F (τ )

τ

d τ

t

Slika 1.45. Neperiodska sila uzbude

71


bg

Na slici je posebno istaknuta vrijednost sile u trenutku t = τ , tj. F τ . Tokom

bg

bg

diferencijalnog vremena d sila F t proizvodi impuls F τ d τ . Iz jednadžbe (1.52) slijedi odziv uslijed ovakvog impulsa τ dτ sin ω b t − τ g bg m1ω F bg

dx t =

Može se smatrati da se "itav vremenski tijek sile sastoji od niza ovakvih kratkih impulsa, gdje svaki od njih proizvodi svoj vlastiti diferencijalni odziv prema gornjem izrazu. Ukupni se odziv dobije zbrajanjem svih diferencijalnih odziva razvijenih tijekom vremena u kojem djeluje sila integriraju !i gornji izraz t

1

bg mω F bτ gsin ω bt − τ gd τ

x t =

(1.53a)

0

ili t

τ ⋅ h t − τ g d τ bg F bgb

x t =

(1.53b)

0

gdje je

b g m1ω sin ω bt − τ gd τ

h t − τ =

Integral (1.53a) naziva se Duhamelov integral za neprigušeni sustav, dok se integral (1.53b) naziva konvolucijski integral . Prora"un odziva strukture pomo !u integrala (1.53b) naziva se postupkom odre$ivanja odziva u vremenskom podru# ju. Duhamelov odnosno konvolucijski integral mogu se koristiti za bilo kakav oblik neperiodske sile uzbude F t , iako se u ve !ini slu"ajeva integracija mora provesti numeri #kim putem.

bg

1.5.1. Analiza odziva u frekvencijskom podru! ju

Koncepcija analize odziva u frekvencijskom podru " ju sli"na je koncepciji analize odziva uslijed periodske sile uzbude. Kod oba se koncepta sila uzbude izražava u obliku harmonijskih komponenti, zatim se najprije odziv strukture odre #uje za svaku komponentu sile, te se ukupni odziv strukture dobiva superpozicijom harmonijskih odziva. Da bi se prikazana tehnika kod periodske sile uzbude mogla primijeniti u slu"aju op!e, neperiodske sile uzbude, nužno je koncept Fourierovog reda proširiti na prikazivanje neperiodskih funkcija . U tu je svrhu pogodno koristiti ve! ranije prikazan razvoj periodske sile uzbude u Fourierov red u kompleksno – eksponencijalnom obliku (1.42) koji glasi ∞

bg + F e

F t =

n

n =−∞

72

iλ n t

,

F n =

1 T F

T F

bg

F t e −iλ n t dt 0

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja Neka se razmotri neperiodska sila uzbude (puna crta) na slici 1.46. F (t )

0

-T F

t

T F

Slika 1.46. Neperiodska sila uzbude razvijena u Fourierov red

Kada bi se ova funkcija prikazala razvojem u Fourierov red, tada bi koeficijenti reda F n dobiveni integracijom u bilo kojem vremesnkom intervalu 0 < t < T F ustvari definirali periodsku funkciju koja je na slici prikazana punom i isprekidanom crtom. Me #utim, kako za neperiodsku silu uzbude period T F → ∞ , to !e uz postavljanje takvog uvjeta prekobrojne (iscrtkane) funkcije sile uzbude is"eznuti. Stoga je nužno preurediti izraze (1.42) u smislu proširenja istih na beskona "no vremensko podru" je. U tu se svrhu uvodi λ 1 = ∆λ ,

1 T F

=

∆λ

2π

,

λ n = n ⋅ ∆λ ,

F n =

1 T F

bg

F λ n

te izrazi (1.42) poprimaju oblik ∞

λ e bg 2π + F bg

F t =

∆λ

iλ n t

n

(1.54a)

n =−∞

T F

bg zF bt ge 2

− iλ nt

F λ n =

dt

(1.54b)

T − F

2

Ako se period sile uzbude produži na beskona "nost, prirast frekevencije postaje infinitezimalni ∆λ → d λ , a diskretne frekvencije prelaze u kontinuiranu funkciju . U grani"nom slu"aju, Fourierov red postaje Fourierov integral u obliku

b

g

bg

F t =

∞

1 F λ eiλ t d λ 2π λ =−∞

bg

(1.55a)

gdje je funkcija harmonijskih amplituda ∞

bg F bt ge

− iλ t

F λ =

dt

(1.55b)

t =−∞

73

Teorija konstrukcija Ova dva integrala se zovu par Fourierove transformacije i to iz razloga, što se vremenska funkcija F t može izvesti iz frekvencijske funkcije F i obrnuto, ekvivalentnim postupkom. Po analogiji s Fourierovim redom (1.54a i b), Fourierov integral (1.55a i b) predstavlja proizvoljnu, neperiodsku silu uzbude kao beskona"nu sumu harmonijskih komponenti, gdje 1 podintregralni izraz F λ definira amplitudu po jedinici frekvencije d komponente sile 2π uzbude kod frekvencije . Ako se ova amplituda pomnoži s kompleksnom frekvencijskom funkcijom H dobiva se amplituda po jedinici frekvencije d komponente odziva kod frekvencije , analogno s izrazom (1.29) kod harmonijskih vibracija ili s izrazom (1.43) kod periodskih vibracija. Ukupni odziv se dobiva zbrajanjem svih komponenti odziva u "itavom frekvencijskom podru" ju. Ako se ovaj postupak izrazi matemati"ki, dobiva se osnovna jednadžba za analizu odziva u frekvencijskom podru# ju, koja glasi

bg

bg

bg

bg

∞

1 x t = H λ F λ eiλ t d λ 2π λ =−∞

bg

bgbg

(1.56)

Da bi se opisani postupak primijenio, potrebno je odrediti harmonijske komponente sile uzbude F pomo!u jednadžbe (1.55b), te upotrijebiti kompleksnu frekvencijsku funkciju

bg

bgdanu jednadžbom (1.44).

H

Formalna upotreba postupka analize u frekvencijskom podru " ju ograni"ena je na slu"ajeve gdje je na raspolaganju Fourierova transformacija funkcije sile uzbude, a i tada je odre#ivanje integrala (1.55) zahtjevan posao. Da bi se ova metoda upotrijebila u praksi, nužno je istu formulirati u okviru postupka numeri"ke analize. Ovdje ne !e biti detaljnije govora o tim numeri"kim postupcima. Ipak valja spomenuti, da se u tu svrhu razvijaju diskretne Fourierove transformacije sa sumama koje odgovaraju integralima (1.55a i b), te da se za odre #ivanje ovih suma danas koristi tehnika poznata pod imenom brza analiza Fourierove transformacije (eng. Fast Fourier Transform Analysis ili FFTA). Ova relativno nova tehnika, namijenjena za obradu na elektroni "kom ra"unalu, je tako mo!na i u"inkovita, da je dinami"ka analiza u frekvencijskom podru " ju postala ravnopravna s tradicionalnom analizom u vremenskom podru" ju, "ime je napravljen veliki zaokret u dinami"koj strukturnoj analizi.

74

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja

DRUGI DIO 2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Ako se gibanje nekog sustava može opisati s dvije nezavisne koordinate, tada se radi o sustavu s dva stupnja slobode gibanja. Takav sustav ima dvije prirodne frekvencije. Kada sustav vibrira s jednom od tih frekvencija, tada je odnos izme #u amplituda nezavisnih koordinata to"no odre#en i naziva se prirodni oblik vibriranja koji pripada toj frekvenciji. Analiza sustava s dva stupnja slobode vrlo je korisna iz dva razloga. Prvo, sve zna "ajke vibracija dobivene ovakvom analizom predstavljaju dobar uvod u analizu vibracija sustava s više stupnjeva slobode i kontinuiranih sustava, koji su prikazani u Tre !em dijelu ove knjige. Drugo, pomo!u sustava s dva stupnja slobode mogu se u prvom približenju prikazati mnogi složeni dinami"ki sustavi. U ovom poglavlju to je prikazano na primjeru analize vibracija automobila, zgrade, brodskog vijka s osovinskim vodom, itd. Analiza odziva kod prisilnih vibracija prikazana je samo za slu "aj harmonijske sile uzbude .

2.1. Slobodne vibracije Zna"ajke slobodnih vibracija analizirane su na jednostavnom neprigušenom sustavu koji je prikazan na slici 2.1a.

k 1 x1

x1>x2

k 1

m1 x1 m1

m1 x1

k 2

k 2( x1- x2) m2 x2

m2

m2 x2

a)

b)

Slika 2.1. Slobodne vibracije sustava sustava s dva stupnja slobode gibanja

Iz uvjeta dinami"ke ravnoteže sila za obje mase proizlaze dvije diferencijalne jednadžbe

b g m x!! − k b x −x g =0

m1 x!!1 + k1 x1 + k 2 x1 − x2 = 0 2 2

2

1

2

75

Teorija konstrukcija ili u matri"nom obliku 0O m x!! U k + k L R +M S V M P ! ! 0 m x N Q T W − k 1

1

2

1

2

O RV U= S R0V U S P k Q T x W T0W

− k 2 x1

2

2

2

(2.1)

2

Prikazano simboli"ki

l q l ql q

m !x! + k x = 0 gdje je

m

matrica masa

k

matrica krutosti

l!x!q lxq

vektor ubrzanja vektor pomaka

Uo"ljivo je da je matrica krutosti k puna i simetri "na, dok je matrica masa m dijagonalna. Za takav slu "aj kažemo, da je gornji sustav spregnut po krutosti , a nespregnut po inerciji. Ako pretpostavimo harmonijsko gibanje masa x1 = A1 cosω t x2 = A2 cosω t t

i uvedemo supstituciju Ω = ω 2 , tada sustav (2.1) prelazi u oblik

ck − Ω m hlAq= l0q

l ql q

D A = 0

ili

(2.2)

Matrica [D] se naziva dinami#ka matrica. Rješenje jednadžbe (2.2) svodi se na problem odre #ivanja prirodnih vrijednosti

k −Ω m = 0

(2.3)

Razvojem determinante (2.3) slijedi frekvencijska jednadžba

bg

b

g

P Ω = m1 m2 Ω 2 − k1m2 + m1 + m2 k 2 Ω + k1 k 2 = 0

Korijeni ove jednadžbe, 1 i 2, nazivaju se prirodne vrijednosti vibracijskog sustava. Iz njih slijede prirodne frekvencije sustava ω 1 = Ω1

76

ω 2 = Ω 2

(2.4)

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Ako se pojedine prirodne vrijednosti ( (2.2),

bk + k 1

1 odnosno

2

2)

uvrste u bilo koju jednadžbu sustava

g

− Ωm1 A1 − k2 A2 = 0

dobiva se omjer amplituda A k = G J A K k + k − Ω m H 1

2

2

1

i

2

i

i = 1, 2

1

i prirodni oblici vibriranja sustava

U R A V lΦ q= T S A W

U R A V lΦ q= T S A W

1

1

1

2

2 1

2

2

2.1.1. Svojstva prirodnih oblika

Svojstvo prirodnih oblika vibriranja je njihova ortogonalnost,

R0 n s T S K

za i ≠ j za i = j

Φ i k Φ j =

i

R0 n s T S M

(2.5)

Φi m Φ j =

i

za i ≠ j za i = j

gdje su K i i i Mi poop"ena krutost i poop"ena masa i-tog prirodnog oblika vibriranja. Pomo!u K i i i Mi dobiva se umjesto sustava (2.1) nespregnuti sustav jednadžbi M L M N0 1

O RV UM P O RV US RV U S S P Q T W Q T W TW

0 x!!1 K 1 0 x1 0 + = M 2 x!!2 0 K 2 x 2 0

(2.6)

iz kojeg slijede me #usobno nezavisne diferencijalne jednadžbe za svaki prirodni oblik vibriranja M i x!!i + Ki xi = 0

i = 1,

2

i neposredno prirodne frekvencije ω i2 =

K i Mi

77


2.2. Prisilne vibracije U slu"aju djelovanja harmonijske uzbudne sile F = F 0 cos λ t na masu m1 sustava na slici 2.1, izvodi taj sustav prisilne vibracije s frekvencijom uzbude xi = X i

cos λ t

i = 1,

2

Sustav jednadžbi koji opisuje ovakvo gibanje glasi m x!! U k + k 0O L R + S M N0 m P Q T x!! V WM−k 1

1

2

1

2

2

2

F U O R U R = S V S P k Q T x W T0 V W

− k 2 x1 2

(2.7)

2

Rješenje ovog sustava su amplitude vibriranja X 1 =

Ω 22 − λ 2 F 0

X 2 =

bgm

P λ

1

Ω 22 F 0

bg

P λ m1

(2.8)

gdje je

bg d

i

2 P λ = λ4 − Ω12 + Ω 22 + Ω12 λ 2 + Ω12 Ω 22

Ω12 =

k 1 m1

Ω 22 =

k 2

2 Ω12 =

m2

k 2 m1

Ovisnost amplituda vibriranja X 1 i X 2 o frekvenciji uzbude , izražena izrazom (2.8), prikazana je dijagramski na slici 2.2. Veli "ine 1 i 2 su prirodne frekvencije sustava. X 1

X 1

X 2

X 2

F 0 k

Ω2

ω 1

ω 2

λ

Slika 2.2. Amplitude vibriranja sustava s 2 stupnja slobode

Uo"ljivo je da !e masa m1 mirovati u slu "aju kada frekvencija uzbude vrijednost 2. 78

poprimi

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja 2.2.1. Metoda superpozicije prirodnih oblika vibriranja

Koriste!i svojstvo ortogonalnosti (2.5) prirodnih oblika vibriranja {Φi}, može se odziv promatranog sustava u slu "aju prisilnih vibracija, umjesto rješavanja sustava jednadžbi (2.7), odrediti superpozicijom prirodnih oblika vibriranja x U R q t gl q tg = lΦ qb + Φ qb S V x T W 1

1

1

2

2

(2.9)

2

gdje su q1(t ) i q2(t ) poop!ene koordinate. Pošto su prirodni oblici vibriranja poznati iz prethodno izvršene analize slobodnih vibracija, u izrazu (2.9) nepoznanice su q1 i q2. Ako se u sustav (2.7) uvrsti izraz (2.9) slijedi

cl q l q h cl q l q hl q

m Φ1 q!!1 + Φ 2 q!!2 + k Φ1 q1 + Φ 2 q2 = f

te, ako se ova jednadžba uzastopce pomnoži s lijeva prvo s <Φ1> i zatim s <Φ2>, poštuju!i svojstvo ortogonalnosti (2.5), dobiju se dvije nespregnute diferencijalne jednadžbe M i q!!i + Ki qi = f i

i = 1,

gdje je

2

(2.10)

lf q

f i = Φ i

Pod pretpostavkom harmonijskih vibracija, q i = Qi

cos λ t

može se iz jednadžbe (2.10) neposredno izraziti nepoznata amplituda poop !ene koordinate Qi , Qi =

Q bg i st

(2.11)

1 − β i2

gdje je f Q = bg K i

β i =

i st

i

λ ω i

Odre#ivanjem Qi odre#ene su i amplitude vibriranja pojedinih masa sustava prema izrazu (2.9), X 1 = + A1 i Qi X 2 = + A2 i Qi i = 1, 2

bg

i

bg

i

Opisana metoda, iako prikazana na primjeru sustava s dva stupnja slobode gibanja, vrlo je prikladna kod analize prisilnih vibracija sustava s mnogo stupnjeva slobode gibanja. Naime, nakon analize slobodnih vibracija, zadana frekvencija uzbude se usporedi s izra "unatim prirodnim frekvencijama sustava i , te se odredi njoj najbliža prirodna frekvencija. Obzirom da oblici vibriranja koji su izvan podru " ja ove prirodne frekvencije, ne!e biti pobu#eni na vibriranje, dovoljno je odziv strukture aproksimirati sumom nekoliko prirodnih oblika vibriranja koji se nalaze u podru " ju spomenute najbliže prirodne frekvencije. Na taj na"in se prora"un prisilnih vibracija reducira od rješavanja cjelokupnog sustava jednadžbi tipa (2.7) na rješavanje nekoliko nespregnutih jednadžbi tipa (2.10). 79


2.3. Vibracije fleksijskih sustava Pod fleksijskim sustavom podrazumjevamo sustav masa mi (i = 1,n) koji vibrira na nosa"u krutosti EI . Analizu vibracija ovakvog sustava najprikladnije je provesti metodom utjecajnih koeficijenata . 2.3.1. Utjecajni koeficijenti

Utjecajni koeficijent ij je definiran kao progib nosa "a na mjestu i uslijed djelovanja jedini"ne sile na mjestu j . U slu"aju da na mjestima i = 1, 2,..., n duž nosa"a djeluju sile F 1,..., F n, progib nosa"a na tim mjestima može se odrediti kao linearna kombinacija utjecajnih koeficijenata, x1

= α 11 F1

+ α 12 F 2

+ # + α 1n F n

x2

= α 21 F1

+ α 22 F 2

+ # + α 2 n F n

$

xn

$

= α n1 F1

$

+ α n 2 F 2

$

+ # + α nn F n

ili u matri"nom obliku α R |S x$ U |V= M $ M | | α T x WM 1

n

11

n1

F U O R | | P $ S$ V P | F |W α P Q T

## α 1n ##

nn

1

(2.12)

n

Matrica utjecajnih koeficijenata naziva se matrica gipkosti. Dijagonalni elementi ove matrice ( 11 …… nn) su utjecajni koeficijenti na mjestu djelovanja sile i uvijek su pozitivni. Za utjecajne koeficijente vrijedi op !enito Maxwelov teorem o uzajamnosti pomaka koji glasi: pomak koji nastaje na mjestu i uslijed djelovanja jedini"ne sile na mjestu j jednak je pomaku koji nastaje na mjestu j uslijed djelovanja jedini "ne sile na mjestu i . Ako se Maxwelov teorem primijeni na utjecajne koeficijente, tada vrijedi α ij = α ji

80

(2.13)

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja 2.3.2 Analiza vibracija

U okviru ovog poglavlja pokazat !e se analiza vibriranja fleksijskog sustava s dva stupnja slobode. Me #utim, svi postavljeni izrazi i razvijen postupak mogu se primjeniti i na sustave s više od dva stupnja slobode gibanja. Na slici 2.3a prikazan je takav sustav s dvije mase, m1 i m2 i s harmonijskim uzbudnim silama F 1 i F 2. F 1

F 2

m1

a)

b)

m2

1

2

F 1

F 2

w1

w2

m1w1

m2w2

Slika 2.3. Fleksijski sustav s dva stupnja slobode gibanja

Ako se prema slici 2.3b uzmu u obzir sile (po veli "ini i po smjeru) koje djeluju na mase i m2, tada se pomaci ovih masa mogu izraziti pomo !u utjecajnih koeficijenata prema jednadžbi (2.12), m1

w U α R = S α Tw V WM 1

11

α 12

2

21

α 22

!! U F − m w O R S P Q T F − m w!! V W 1

1 1

2

2

2

Uz pretpostavku harmonijskih sila i pomaka, F F R || F U || R || F U || cos λ t = S ||w V || S ||W V || Tw W TW W 1

10

2

20

1

1

2

2

dobiva se sljede!i sustav jednadžbi

L 1− ω α m M N−ω α m 2

11 1

2

21 1

W U R F α OR =S S V P m Q TW W T F α

−ω 2α 12 m2 2

1 − ω α 22

2

1

10

11

+ F 20α 12

2

10

21

+ F 20α 22

U V W

(2.14)

Sada se analiza vibracija grana u dva smjera: slobodne i prisilne vibracije.

81

Teorija konstrukcija a) Slobodne vibracije U tom slu"aju λ = ω i F10 = F 20 = 0 , te sustav (2.14) postaje homogen. Uvo #enjem Ω = ω 2 proizlazi

1 − Ωα m L M N−Ωα m

0U A U R OR = SV S V P 1 − Ωα m Q T A W T0W −Ωα 12 m2

11 1

21 1

22

1

2

(2.15)

2

Iz uvjeta netrivijalnosti rješenja (2.15), det D = 0 , slijedi frekvencijska jednadžba 1- Ωα m g − Ωα bgb1 − Ωα m gb

P Ω =

11 1

12

2

12α 21m 1m2

=0

(2.16)

Korijeni jednadžbe (2.16) su prirodne vrijednosti fleksijskog sustava 1 i 2 iz kojih slijede i prirodne frekvencije sustava ω 1 = Ω1 i ω 2 = Ω 2 . Uvrštavanjem pojedinih prirodnih vrijednosti (Ω1, odnosno Ω2) u bilo koju od jednadžbi sustava (2.15) odre #uju se omjeri A I G J A K H 1 2

i

1

A I G J A K H 1 2

2

koji definiraju prirodne oblike vibriranja fleksijskog sustava.

R lΦ q= T S A A U V W 1

1

2

1

R lΦ q= T S A A U V W 1

2

2

2

Time su sve zna "ajke slobodnih vibracija odre #ene.

b) Prisilne vibracije U tom slu"aju se rješava nehomogen sustav jednadžbi (2.14), a rješenje su amplitude vibriranja pojedinih masa W 1 i W 2 u ovisnosti o frekvenciji uzbude i amplitudama uzbudnih sila, F 10 i F 20. I ovdje se, alternativno, može primijeniti metoda superpozicije prethodno odre#enih prirodnih oblika vibriranja.

82

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja

2.4. Vitlaju"e vibracije osovine brodskog vijka Brodski vijak smješten je na prepustu svoje osovine koja je oslonjena u ležaju statvene cijevi prema slici 2.4a. Uslijed vlastite težine vijka i hidrodinamskih vij "anih sila dolazi do savijanja osovine. Uslijed toga brodski vijak vrši složeno gibanje s progibom w i kutom nagiba . Pritom dolazi do izvorne rotacije osovine kutnom brzinom i do rotacije vijka oko nedeformirane osi kutnom brzinom 1 . Ovako spregnuto gibanje brodskog vijka sa svojom osovinom naziva se vitlanje.

ω ϕ w

ω 1

a)

b) Slika 2.4. Vitlaju!e vibracije brodskog vijka

U skladu s tim može se postaviti ekvivalentni fleksijski sustav u obliku konzole duljine l i krutosti EI s diskom mase m. Disk ima polarni moment inercije J p i aksijalni moment inercije J x prema slici 2.5.a.

83

Teorija konstrukcija l, EI

a)

F

M

b)

Slika 2.5. Ekvivalentni sustav s dva stupnja slobode

U slu"aju dinami"ke ravnoteže, na disk djeluje inercijska sila F i inercijski moment M . Sila F je centrifugalna sila koja nastaje kada se disk otkloni za progib w od osi rotacije, F = mω 12 w

a moment M je giroskopski moment koli"ine gibanja uslijed istovremene rotacije diska kutnom brzinom i 1 ,

d

i

M = J pωϕ − J x ω 1ϕ ω 1

Koriste!i metodu utjecajnih koeficijenata mogu se postaviti izrazi za progib w i nagib kraju konzole, w = α 11 F + α 12 M

ϕ = α 21 F + α 22 M

odnosno, uvrštavaju!i izraze za F i M ,

I G H JK F J n − 1 JIϕ J ω G J H K

J p w = α 11mω 12 w − α 12 J xω 12 n − 1 ϕ J x

d

i

d

i

ϕ = α 21mω 12 w − α 22

gdje je n =

84

ω ω 1

x

2 1

p x

na

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Iz ovih izraza slijedi, uz Ω = ω 12 , sustav jednadžbi

L 1 − α mλ M M M −α mλ M M N

O J 1λ P n − J G 0U wU R J H K P R = SV S V F J 1Iλ P Tϕ W T0W J G n − J P J H K P Q p

α 12 J x

11

(2.17)

x

1 + α 22

21

p

x

x

U slu"aju krutog ležaja konzole, utjecajni koeficijenti iznose 3

α 11 =

l

3 EI

2

,

α 12 = α 21 =

l

2 EI

,

α 22 =

l EI

Sustav (2.17) daje iz uvjeta netrivijalnosti rješenja slijede !u frekvencijsku jednadžbu

gL M M N

bgb

P Ω = 1 − α 11mλ 1 + α 22 J x

O G JK P J H P Q J p

n − 1 λ + α 12α 21mJ x

x

J p

1 λ = 0 n − J G J H K 2

(2.18)

x

Osovina može vitlati u smjeru svoje vrtnje što se zove naprednim vitlanjem, te u smjeru suprotnom od smjera svoje vrtnje što se zove natražnim vitlanjem. Osnovno obilježje vitlanja osovina je redni broj vitlanja n koji izražava odnos broja vitlaja osovine 1 u odnosu na broj okretaja oko vlastite osi . Sve rotiraju!e osovine imaju beskona "no mnogo prirodnih frekvencija vitlanja zbog giroskopskog efekta koji ovisi o brzini rotacije. Svakom rednom broju vitlanja pripadaju dvije vrijednosti prirodne frekvencije vitlanja pojedinog prirodnog oblika vibriranja: jedna vrijednost za napredno, a druga za natražno vitlanje.

2.5. Lagrangeove jednadžbe U prethodnim glavama ovog poglavlja razvijali smo diferencijalne jednadžbe dinami"kog sustava na osnovi 2. Newtonovog zakona gibanja, odnosno d’Alembertovog na"ela dinami"ke ravnoteže, što je isto. Me #utim, postoje složeni vibracijski sustavi kod kojih postavljanje jednadžbi na osnovi spomenutog zakona (odnosno na "ela) postaje teško i gdje je pristup preko energije i rada mnogo prikladniji. Lagrangeove jednadžbe su diferencijalne jednadžbe gibanja na poop!enim kordinatama dinami"kog sustava. One povezuju kineti "ku i potencijalnu energiju sustava s radom uzbudnih sila u obliku, d ∂U ∂ U ∂V − + = Qi , dt ∂q! i ∂qi ∂qi

G H JK

i = 1, 2," , n

(2.19)

gdje je qi U = U q1 ," , qn

b g V = Vb q ," , q g 1

Qi

n

poop!ena kordinata sustava kineti"ka energija sustava potencijalna energija sustava poop!ena sila (pridružena poop !enoj koordinati)

Poop"ena koordinata qi . Kod dinami"kog sustava s n stupnjeva slobode gibanja, koordinata qi je jedna od n nezavisnih koordinata koje su potrebne za opis gibanja tog sustava. 85


Kineti#ka energija U (q1,..., qn), izražena kao funkcija poop !enih koordinata, glasi,

g 21 q! m lq!q

b

U q1 ," , q n =

gdje je q! U R | lq!q= S$ |V vektor poop!enih brzina sustava |q! |W T 1

q! = q!1 ," , ! qn

n

m

matrica masa sustava

Potencijalna energija V (q1,...,qn),izražena kao funkcija poop !enih koordinata, glasi

g 21 q k lqq

b

V q1 ," , qn =

gdje je

q U R | lqq= S$ |V vektor poop!enih kordinata sustava |q |W T 1

q = q1 ," , qn

n

k

matrica krutosti sustava

2.6. Primjeri PRIMJER 2.1. Odredite prirodne frekvencije i oblike vibriranja za sustav prikazan na slici 2.6a. Zadano: m1 = 3m, m2 = m, k 1 = k 2 = k , k 3 = 3k x1>x2

x1 k 1

k 2 m1

k 3

k 1 x1

m2

a)

k 3 x2

m1

m2

m1 x1

m2 x2

b) Slika 2.6. Primjer 2.1.

86

k 2( x1- x2)

x2

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Uvjeti dinami"ke ravnoteže prema slici 2.6b, !!1 + k 1 x1 + k 2 ( x1 − x 2 ) = 0 m1 x !!2 + k 3 x 2 − k 2 ( x1 − x 2 ) = 0 m2 x

ili u obliku (2.2) * !k 1 + k 2 (4 ( 4 − k 2 ) #

!m1 0 " ' ,. A1 -. ,.0-. 3 − Ω4 3% / 0 = / 0 4# 0 m2 3$ &% .1 A2 .2 .10.2 k 2 + k 3 3$ − k 2 "

Frekvencijska jednadžba glasi 2 P (Ω ) = m1 m2 Ω − [k 1m 2 + (m1 + m2 )k 2 + k 3 m1 ]Ω + k 1k 2 + k 1 k 3 + k 2 k 3 = 0

Ako se uzmu u obzir zadane vrijednosti, gornja jednadžba poprima oblik, 3m 2 Ω 2 − 14kmΩ + 7k 2 = 0 ili Ω2 −

14 k 7 k 2 Ω+ =0 3 m 3 m2

Korijeni ove jednadžbe su prirodne vrijednosti, Ω1 = ω 12 = 0,57 2

k m

Ω 2 = ω 2 = 4,096

k m

te su prirodne frekvencije ω 1 = 0,755

k m

,

ω 2 = 2,024

k m

Iz omjera * A1 ' k (( %% = ) A2 & i 2k − Ω i 3m

i = 1, 2

proizlaze prirodni oblici vibriranja, ,3,45-. 0 .1 1 .2

{Φ1 } = ./

,− 0,097-. 0 .1 1 .2

{Φ 2 } = ./

87

Teorija konstrukcija koji su prikazani na slici 2.7. "vor

3,45 1

-0,097

1 2. oblik

1. oblik Slika 2.7. Primjer 2.1

PRIMJER 2.2 Za sustav prema slici 2.1 odrediti prirodne frekvencije i oblike vibriranja. U slu "aju djelovanja sile F = F 0 cos λ t na masu m odrediti amplitude vibriranja obiju masa. Jednadžbe gibanja postaviti pomo !u Lagrangeovih jednadžbi i usporediti sa sustavom jednadžbi (2.1). Amplitude vibriranja obiju masa, X 1 i X 2, odrediti metodom superpozicije oblika vibriranja i usporediti s izrazima (2.8). Zadano: m1 = m2 = m, k 1 = k 2 = k , F 0 , λ = 1,55

k m

Obzirom da su poop!ene koordinate x 1 i x 2, Lagrangeove jednadžbe glase d * ∂U ' ∂U ∂V ( %− + = Q1 dt () ∂ x!1 &% ∂ x1 ∂ x1 d * ∂U ' ∂U ∂V ( %− + = Q2 dt () ∂ x! 2 &% ∂ x 2 ∂ x 2 Kineti"ka energija, U =

1 1 m1 x!12 + m 2 x! 22 2 2

Potencijalna energija, V =

1 1 2 k 1 x12 + k 2 ( x1 − x 2 ) 2 2

Langrangeove jednadžbe, d (m x! ) + k 1 x1 + k 2 ( x1 − x 2 ) = F dt 1 1 d (m x! ) − k 2 ( x1 − x 2 ) = 0 dt 2 2

88

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja odnosno !!1 + (k 1 + k 2 ) x1 − k 2 x 2 = F m1 x !!2 − k 2 x1 + k 2 x 2 = 0 m 2 x

Gornji sustav identi"an je sustavu (2.1) (homogen) odnosno sustavu (2.7) (nehomogen). Obzirom na gornji zaklju "ak mogu!e je prirodne frekvencije odrediti primjenom frekvencijske jednadžbe (2.4) koja sa zadanim vrijednostima glasi, 2

* k ' Ω − 3Ω + ( % = 0 m ) m & k

2

gdje je Ω = ω 2 Korijeni ove jednadžbe su prirodne vrijednosti Ω1 =

3 − 5 k k = 0,382 m 2 m

Ω2 =

3 + 5 k k = 2,618 m 2 m

odnosno prirodne frekvencije ω 1 = Ω1 = 0,618

k

ω 2 = Ω 2 = 1,618

m

k m

Prirodni oblici slijede iz prve jednadžbe sustava (2.2),

(2k − Ω i m ) A1 − kA2 = 0 Ako se pretpostavi da je A2 = 1 i ako se uzastopce uvrste Ω1 i Ω2, slijedi , A1 -. ,.0,618-. 0 =/ 0 .1 A2 .21 .1 1 .2

, A1 -. ,.− 1,618-. 0 =/ 0 .1 A2 .2 2 .1 1 .2

{Φ1 } = ./

{Φ 2 } = ./

Grafi"ki prikaz prirodnih oblika vibriranja prikazan je na slici 2.8.

0,618

-1,618

"vor

1 1. oblik

1 2. oblik


89

Teorija konstrukcija Provjera prirodnih oblika vibriranja ispitivanjem njihove ortogonalnosti, ! 2k − k " ,.− 1,618-. 3/ 0=0 4#− k k 3$ .1 1 .2 !m 0 " ,.− 1,618-. [ ] Φ1 m {Φ 2 } = 0,618 1 4 3/ 0=0 4# 0 m3$ .1 1 .2 Φ1 [k ]{Φ 2 } = 0,618 1 4

Poop!ene krutosti, ! 2k − k " ,.0,618-. K 1 = Φ1 [k ]{Φ1 } = 0,618 1 4 3/ 0 = 0,528k 4#− k k 3$ .1 1 .2 ! 2k − k " ,.− 1,618-. K 2 = Φ 2 [k ]{Φ 2 } = − 1,618 1 4 3/ 0 = 9,472k 4#− k k 3$ .1 1 .2

Poop!ene mase, !m 0 " ,.0,618-. M1 = Φ1 [m]{Φ1 } = 0,618 1 4 3/ 0 = 1,382m 4# 0 m3$ .1 1 .2 !m 0 " ,.− 1,618-. M 2 = Φ 2 [m]{Φ 2 } = − 1,618 1 4 3/ 0 = 3,618m 4# 0 m3$ .1 1 .2

Provjera prirodnih frekvencija, ω 1 =

K 1 k = 0,618 M1 m

ω 2 =

K 2 k = 1,618 M2 m

što je identi"no s gore dobivenim vrijednostima. Kod analize prisilnih vibracija odredit !emo amplitude vibriranja obiju masa kao superpoziciju prirodnih oblika vibriranja prema izrazu (2.9), ,. X 1 -. / 0 = {Φ1 }Q1 + {Φ 2 }Q2 .1 X 2 .2

Ako se usporedi uzbudna frekvencija λ = 1,55 proizlazi da je njoj bliska ω 2 = 1,618

k m

k m

s prirodnim frekvencijama sustava,

. Stoga bi u gornjem izrazu za odre #ivanje X 1 i X 2

bilo dovoljno uzeti samo drugi "lan sume s {Φ 2 } , jer !e doprinos od {Φ1} biti malen. Mi !emo ipak uzeti oba "lana gornje sume, a kada odredimo X 1 i X 2 uvjerit !emo se u gornju tvrdnju. Dakle, X 1 = ( A1 )1 Q1 + ( A1 )2 Q2 X 2 = ( A2 )1 Q1 + ( A2 )2 Q2

90

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Amplitude poop!enih koordinata Q1 i Q2 se odre#uju na osnovi izraza (2.11), 1

Q1 =

(Q1 )st

1 − β 12 1 Q2 = (Q2 )st 1 − β 22 gdje je

β 1 =

β 2 =

λ = ω 1

1,55 0,618

λ = ω 2

1,55 1,618

k m

= 2,508

k m k m

= 0,958

k m

( A1 )1 F 0

0,618 F 0 F = 1,170 0 K 1 0,53k 0,528k k ( A ) F 1,618 F 0 F f (Q2 )st = 2 = 1 2 0 = − = −0,171 0 K 2 9,47 k 9,472k k

(Q1 )st =

f 1

=

=

Nakon uvrštenja slijedi F ' F 1 * (1,170 0 % = −0,221 0 2 k & k 1 − 2,508 ) F 0 ' F 0 1 * Q2 = 0 , 171 2 , 085 − = − ( % k & k 1 − 0,958 2 ) Q1 =

Prema ovome, amplitude vibriranja iznose F F F X 1 = 0,618 ⋅ (− 0,221) 0 + (− 1,618) ⋅ (− 2,085) 0 = 3,237 0 k k k F F F X 2 = (− 0,221) 0 + 1 ⋅ (− 2,085 ) 0 = −2,306 0 k k k

U slu"aju da smo uzeli u obzir samo drugi oblik vibriranja, F F X 1 = ( A1 )2 Q2 = (− 1,618) ⋅ (− 2,085) 0 = 3,374 0 k k F F X 2 = ( A2 )2 Q2 = 1 ⋅ (− 2,085) 0 = 2,085 0 k k

Kao što smo i pretpostavili, oba rezultata se me #usobno malo razlikuju i ujedno prate 2. prirodni oblik vibriranja. 91

Teorija konstrukcija Amplitude vibriranja prema izrazima (2.8), pri "emu je 2 Ω12 = Ω 22 = Ω12 =

k m

,

imaju ovaj oblik X 1 =

(1 − 1,55 2 ) mk

F 0

(1,55 − 3 ⋅ 1,55 + 1)⋅ * ( mk '% ) & 4

2

2 m

=

F − 1,403 F 0 = 3,34 0 k − 0,42 k

k F 0 2 m * k '

m

X 2 =

− 0,42(

% ) m &

F = −2,301 0 k

Usporedbom se vidi dobro slaganje rezultata dobivenih pomo !u dvije razli"ite metode. PRIMJER 2.3 Za sustav prema slici 2.9a odrediti amplitudu vibriranja i kut faznog pomaka mase m u odnosu na uzbudnu silu F = F 0 cos λ t . Zadano: m, k 1 , k 2 , k 3 , c, F 0 , λ

c

x> x1

c x1 k 1 x

k 1 k 2

x1

k 2( x- x1)

m x m

m F

x

F

k 3

a)

k 3 x


92

k 2( x- x1)

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Postavljanjem jednadžbi dinami "ke ravnoteže za sile prema slici 2.9b. slijedi !! + (k 1 + k 2 + k 3 ) x − k 2 x1 = F m x

c x!1 − k 2 ( x − x1 ) = 0

Ako se pretpostavi kompleksni oblik, x = X e iλ t

x1 = X 1e iλ t

F = F 0 e iλ t

gornji sustav jednadžbi poprima oblik !(k − λ 2 m ) ,F 0 X − k 2 " , 4 3 ./ .0e iλ t = ./ .0e iλ t 4 − k 2 .1 0 .2 (k 2 + iλ c )3$ .1 X 1 .2 #

gdje je k = k 1 + k 2 + k 3 . Rješenje sustava za masu m u kompleksnom obliku glasi k 2 + iλ c

X =

[(k − mλ )k 2 − k 22 ] + i(k − mλ 2 )λ c 2

Realna amplituda vibriranja X mase m, X =

Kut faznog pomaka

k 22 + λ 2 c 2

[(k − mλ 2 )k 2 − k 22 ]2 + [(k − mλ 2 )λ c]2

vibriranja mase m, ε = α 2 − α 1 α 1 = arctg

λ c k 2

α 2 = arctg

(k − mλ 2 )λ c (k − mλ 2 )k 2 − k 22

Zakon vibriranja mase m, x = X cos(λ t − ε )

93

Teorija konstrukcija PRIMJER 2.4 Dva vagona, svaki težine G , me#usobno su povezani elasti "nom spojkom krutosti k . Odrediti prirodnu frekvenciju sustava. kN Zadano: G = 25 kN, k = 2800 m Opisani sustav može se prikazati prema slici 2.10a. x1

x2

x1>x2

k

k ( x1- x2)

m1

m2

m1

m2

m1 x1

m2 x2

a)


Postavljaju!i uvjete dinami"ke ravnoteže sila prema slici 2.10b možemo pisati !!1 + k ( x1 − x 2 ) = 0 m1 x !!2 − k ( x1 − x 2 ) = 0 m 2 x

Uz pretpostavku x1 = X 1 cos ω t

x 2 = X 2

cos ω t

slijedi − k " , !k − Ωm1 . x1 -. ,.0-. 4 3/ 0=/ 0 4# − k k − Ωm 2 3$ . 1 x 2 .2 .10.2

Frekvencijska jednadžba glasi P (Ω ) = (k − Ωm1 )(k − Ωm 2 ) − k 2 = 0

ili m + m2 Ω 2 − k 1 =0 m1m 2

94

Ω = ω 2

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Korijeni ove jednadžbe iznose Ω1 = 0 m + m2 Ω 2 = ω 2 = k 1 m1 m 2

U zadanom primjeru m1 = m 2 = m , te dobivamo da je prirodna frekvencija vibriranja vagona ω =

2k m

= 15,72

rad s

PRIMJER 2.5 Za dvostruko njihalo prema slici 2.11a odrediti prirodne frekvencije i pripadne oblike vibriranja. Pretpostaviti male amplitude njihanja. Zadano: l , m1 = m2 = m

0 l α 1

x1

01

m1

m1 x1 α 2

l m1 g

x2

m2 x2

m2 m2 g

a)


Potrebne jednadžbe gibanja zadanog sustava mogu se izvesti iz uvjeta dinami "ke ravnoteže sila prema slici 2.11b i to iz sume momenata s obzirom na to "ku O i to"ku O1 , !!1l ctg α 1 + m1 gx1 + m 2 x !!2 (l ctg α 1 + l ctg α 2 ) + m 2 gx 2 = 0 m1 x !!2 l ctg α 2 + m 2 g ( x 2 − x1 ) = 0 m 2 x

Pritom je zbog malih x 1 i x 2 ctg α 1 =

l 2 − x12 ≈1 l

ctg α 2 =

l 2 − ( x 2 − x1 ) l

2

≈1

95

Teorija konstrukcija Pretpostavka harmonijskih vibracija, x1 = A1 cos ω t

x 2 = A2

Ω = ω 2

cos ω t

te za zadane vrijednosti m1 = m2 = m slijedi ! g − Ωl g − Ω2l " ,. A1 -. ,.0-. 4 3/ 0=/ 0 4# − g g − Ωl 3$ .1 A2 .2 .10.2

Frekvencijska jednadžba glasi P (Ω ) = Ω 2 − 4

g 2 Ω+2 2 =0 l l

g

Korijeni gornje jednadžbe iznose Ω1, 2 =

g l

(2 % 2 )

odnosno prirodne frekvencije ω 1 =

g

(2 − 2 ) l

ω 2 =

g l

(2 + 2 )

Odnos amplituda slijedi iz druge jednadžbe gornjeg matri "nog sustava, * A1 ' Ω l (( %% = 1 − i g ) A2 & i

Uvrštavanjem Ω1 i Ω2 slijedi * A1 ' (( %% = 0,41 ) A2 &1

* A1 ' (( %% = −2,41 ) A2 & 2

Oblici vibriranja prikazani su na slici 2.12.

0,41

-2,41

"vor

1

1

1. oblik


96

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja PRIMJER 2.6 Jednolika kruta greda mase m i duljine l ovješena je s dvije opruge, svaka krutosti k , prema slici 2.13a. Odrediti prirodne frekvencije i oblike vibriranja grede. Zadano: m, k

k

k

T l /4

l /4

m

* )

l /2

k ( w −

l '

w

ϕ % 2 &

J ϕ

T

* )

k ( w +

l '

ϕ %

2 &

ϕ

mw

a)


Obzirom da !e greda prilikom vibriranja vršiti ravninsko gibanje, ono se može opisati uz pomo! nezavisnih koordinata w i prema slici 2.13.b. Prema istoj slici slijede iz uvjeta ravnoteže vertikalnih sila i momenata oko težišta T ove jednadžbe * ) * !! + k ( w + J ϕ )

!! + k ( w + mw

1 ' * 1 ' l l ϕ % + k ( w − l ϕ % = 0 2 & ) 4 & 4 1 ' l * 1 ' l l ϕ % − k ( w − ϕ % = 0 2 & 2 ) 4 & 4

Ako se pretpostavi harmonijsko gibanje, w = W cos ω t

i ako je

J =

ml 2

12

ϕ = Φ cos ω t

2

Ω = ω

,

tada se gornje jednadžbe mogu zapisati u matri"nom obliku 1 ! " kl 42k − Ωm 3 ,.W -. ,.0-. 4 4 3/ 0=/ 0 5 2 ml 2 3 . Φ . .0. 4 1 kl 1 2 1 2 kl − Ω 4# 4 16 12 3$

97

Teorija konstrukcija Frekvencijska jednadžba glasi P (Ω ) = Ω 2 −

23 k 27 k 2 Ω+ =0 4 m 4 m2

Korijeni gornje jednadžbe iznose Ω1 = 1,64

k

Ω 2 = 4,11

m

k m

a prirodne frekvencije ω 1 = 1,28

k

ω 2 = 2,03

m

k m

Odnos amplituda može se postaviti iz prve jednadžbe gornjeg matri "nog sustava, * 1 ' ( l Φ % m ' ( 2 % = −2* ( 2 − Ωi % ( W % k & ) ( % ) & i

Uvrštavanjem u gornji izraz Ω1 odnosno Ω2 dobivaju se prirodni oblici vibriranja * 1 ' ( l Φ % ( 2 % = −0,72 ( W % ( % ) &1

* 1 ' ( l Φ % ( 2 % = 4,17 ( W % ( % ) & 2

Prirodni oblici vibriranja prikazani su na slici 2.14.

1

-0,72

1

4,17

1. oblik


98

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja PRIMJER 2.7 Ako se automobil s kota"ima prikaže kao sustav s dva stupnja slobode gibanja prema slici 2.15a, odrediti njegove prirodne frekvencije i oblike vibriranja. kN kN Zadano: G = 16 kN, k 1 = 29,2 , k 2 = 35 , l = 1,3 m, l 2 = 1,707 m m m 1 r = 1,22 m (polumjer inercije s obzirom na centar mase)

l 1

l 2 T x1

k 1

x

k 2

G

J ϕ

x2

ϕ

k 1 x1 m x

k 2 x2 a)


Ako se za postavljeni sustav postavi uvjet dinami "ke ravnoteže za sile i momente prema slici 2.15b, slijede jednadžbe m x!! + k 1 x1 + k 2 x 2 = 0 !! − k 1 x1l 1 + k 2 x 2 l 2 = 0 J ϕ

Ako se za nezavisne koordinate izaberu x i , tada za koordinate x 1 i x 2 slijedi x1 = x − l 1ϕ

x 2 = x + l 2ϕ

Uz pretpostavku harmonijskog gibanja, x = X cos ω t

ϕ = Φ cos ω t

te ako je Ω = ω 2

J = mr 2

gornji sustav jednadžbi u matri "nom obliku glasi − k 1l 1 + k 2 l 2 " , !k 1 + k 2 − mΩ . X -. ,.0-. 4 3/ 0=/ 0 4# − k 1l 1 + k 2 l 2 k 1l 12 + k 2 l 22 − J Ω3$ .1Φ .2 .10.2

99

Teorija konstrukcija Iz njega slijedi frekvencijska jednadžba

(

)

2

P (Ω ) = m 2 r 2 Ω 2 − m k 1l 12 + k 2 l 22 + k 1r 2 + k 2 r 2 Ω + k 1 k 2 (l 1 + l 2 ) = 0

Korijeni ove jednadžbe su vlastite vrijednosti zadanog sustava. Uz zadane broj "ane vrijednosti nalazimo * rad ' % ) s &

2

Ω1 = 36,55 (

* rad ' % ) s &

2

Ω 2 = 69,47 (

iz "ega slijede prirodne frekvencije ω 1 = Ω1 = 6,05

rad s

ω 1 = Ω 2 = 8,33

rad s

Koriste!i prvu jednadžbu gornjeg homogenog sustava dobiva se omjer k 1l 1 − k 2 l 2 18,87 * X ' =− ( % = 64,2 − 1,583Ω i ) Φ & i k 1 + k 2 − mΩ i

odnosno m * X ' ( % = −3 rad ) Φ &1

rad * X ' ( % = 0,41 m ) Φ & 2

Oblici vibriranja prikazani su na slici 2.16. Uo "ljiv je položaj "vora u odnosu na položaj težišta mase za svaki od prirodnih na "ina vibriranja. 3m

X

0,41m "vor

Φ

"vor

X Φ

1. oblik


100

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja PRIMJER 2.8 U svrhu redukcije vibracija sustava mase M ugra#en je apsorber vibracija mase m prema slici 2.17. Ako je masa M pobu#ena na vibriranje centrifugalnom uzbudom zna "ajki mr ⋅ e i broja okretaja n, odrediti potrebnu krutost k apsorbera i amplitudu vibriranja istog. o kN Zadano: M = 100 kg, m = 25 kg, mr ⋅ e = 0,25 Nm, n = 1800 , k 1 = 20 min m

M

k

1 k 2 1

1 k 2 1

m


Prema izrazu (2.8) proizlazi, da amplituda vibriranja mase M iznosi X M =

k − λ 2 m P (λ )

m r eλ 2

Vidljivo je iz gornjeg izraza za X M , kao i iz slike 2.3, da !e amplituda X M biti nula uz uvjet λ 2 =

k m

Dakle, ako je frekvencija uzbude λ =

nπ

30

= 188,5

rad s

tada krutost apsorbera vibriranja iznosi k = mλ 2 = 888,26

kN m

Amplituda vibriranja X m apsorbera prema izrazu (2.8) iznosi X m =

k P (λ )

m r eλ 2

gdje je prema (2.4) P (λ ) = Mmλ 4 − [k 1m + ( M + m )k ]λ 2 + k 1 k

101

Teorija konstrukcija Kada se uvrste zadane vrijednosti proizlazi P (λ ) = −78,888 ⋅ 1010

N 2 m2

te je amplituda vibriranja apsorbera X m = 0,01 m

Dakle, apsorber !e vibrirati s ovom amplitudom u trenutku kada !e masa M glavnog sustava mirovati. To !e ujedno biti minimalna amplituda vibriranja apsorbera u podru " ju frekvencije uzbude izme#u prirodnih frekvencija ovog dvostupnjevanog sustava, što je vidljivo i prema dijagramima na slici 2.2. PRIMJER 2.9 Dvokatna zgrada može se prikazati kao sustav od dvije me #usobno elasti"no povezane mase prema slici 2.18a, koje mogu vibrirati horizontalno. Pretpostaviti da u slu "aju potresa nastaju horizontalne vibracije temelja zgrade u obliku z = Z 0 cos λ t . Odrediti prirodne frekvencije i oblike vibriranja zgrade, te amplitude vibriranja kao funkcije frekvencije uzbude. Zadano: m2 =

1 1 m1 , k 2 = k 1 , Z 0 2 2 x2>x1

x2

m2 x2

m2 k 2

x1

m1 k 1

k 2( x2- x1) k 1( x1- z )

x1>z

z

a)


Postavljanjem uvjeta dinami "ke ravnoteže za sile prema slici 2.18b, !!1 + k 1 ( x1 − z ) − k 2 ( x 2 − x1 ) = 0 m x !!2 + k 2 ( x 2 − x1 ) = 0 m 2 x

Uz pretpostavku harmonijskih vibracija, x1 = X 1 cos λ t

102

x 2 = X 2 cos λ t

Ω = λ 2

m1 x1

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja dobiva se sljede!a matri"na jednadžba − k 2 " , !(k 1 + k 2 ) − Ωm1 . X 1 -. ,.k 1 Z 0 -. 4 3/ 0=/ 0 4# k 2 − Ωm 2 3$ . − k 2 1 X 2 .2 .1 0 .2

U slu"aju slobodnih vibracija, Z = 0

2

Ω = ω

te gornja matri"na jednadžba postaje homogena. Postavljanjem uvjeta netrivijalnosti rješenja slijedi frekvencijska jednadžba P (Ω ) = [(k 1 + k 2 ) − Ωm1 ](k 2 − Ωm 2 ) − k 22 = 0

U implicitnom obliku ova jednadžba glasi k ' k k 2 * k + k 2 Ω − (( 1 + 2 %%Ω + 1 2 = 0 m 2 & m1 m 2 ) m1

odnosno uvrštavanjem zadanih vrijednosti, k 22 5 k 2 Ω − Ω+ 2 =0 2 m2 m2 2

Korijeni ove jednadžbe iznose Ω1 =

1 k 2 2 m2

k Ω2 = 2 2 m2

Omjer amplituda se može postaviti iz druge jednadžbe homogenog h omogenog sustava,

(

)

2 − k 2 A1 + k 2 − Ω m 2 A2 = 0

* A1 ' k 2 1 (( %% = = ) A2 & i k 2 − m2 Ω i 1 − m2 Ω i k 2

Ako se uzastopce uvrsti Ω1 i Ω2 dobivaju se odgovaraju !i prirodni oblici vibriranja, 1. oblik 2. oblik

, A1 -. ,.1 -. 0=/ 0 .1 A2 .2 .12.2 , A1 - , 1 {Φ 2 } = ./ .0 = ./ .0 .1 A2 .2 .1− 1.2

{Φ1 } = ./

koji su prikazani na slici 2.19.

103

Teorija konstrukcija 2

-1

1

1

1. oblik

2. oblik


U slu"aju prisilnih vibracija rješava se osnovna nehomogena matri "na jednadžba, a rješenja glase X 1 =

(

k 1 k 2 − λ 2 m 2 P (λ )

) Z

k k X 2 = 1 2 Z 0 P (λ )

0

odnosno, uvrštavanjem zadanih vrijednosti, * m ' 2k 22 ((1 − 2 λ 2 %% ) k 2 & Z X 1 = 0

X 2 =

P (λ )

2k 22

Z 0 P (λ )

Amplitude X 1 i X 2 prikazane su grafi"ki kao funkcije uzbudne frekvencije na slici 2.20. X 1

X 1

X 2

X 2

ω 1

ω 2 Slika 2.20. Primjer 2.9

104

λ

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja PRIMJER 2.10 Za jednoliku, slobodno oslonjenu gredu duljine l i krutosti EI prema prema slici 2.21a treba odrediti prve dvije prirodne frekvencije i pripadne oblike vibriranja. Raspodijeljenu masu grede koncentrirati u dvijema to"kama 1 i 2 prema slici 2.21b. Zatim, u slu"aju djelovanja uzbudne sile F = F 0 cos λ t na mjestu 1 treba odrediti amplitude vibriranja grede na mjestima gdje su postavljene mase. Primijeniti metodu utjecajnih koeficijenata, a amplitude vibriranja provjeriti metodom superpozicije prirodnih oblika vibriranja. rad m Zadano: m = 6 t, m1 = m2 = , l = 8 m, EI = 2 ⋅ 10 4 kNm 2 , F 0 = 10 kN, λ = 20 2 s

l, EI

a)

l /4 /4

l /4 /4

F m1

b)

m2

1

2

F

c) w1

w2

m1w1

m2w2

Slika 2.21. Primjer 2.10 2.10

Za odre#ivanje prirodnih frekvencija može se koristiti frekvencijska jednadžba (2.16), 2 P (Ω) = (1 − Ωα 11m1 )(1 − Ωα 12 m 2 ) − Ω α 12α 21m1 m2 = 0

Ako se primijene - uvjet simetrije - Maxwellov teorem

α 11 = α 22 α 12 = α 21

i uvrste zadane vrijednosti, tada gornja jednadžba poprima oblik 2

Ω −

(

4α 11

2 m α 11

2 − α 12

)

4

Ω+ m

2

(

2 α 11

2

− α 12

)

=0

105

Teorija konstrukcija Korijeni jednadžbe glase Ω1 =

2

Ω2 =

m(α 11 + α 12 )

2 m(α 11 − α 12 )

Utjecajni koeficijenti iznose α 11 =

Poznavaju!i

11 i

12 dobivaju

ω 1 = 9,8

EI 3

l m

9l 3 768 EI

α 21 =

7l 3 768 EI

se prirodne frekvencije

= 25

rad s

ω 2 = 27,7

EI 3

l m

= 70,64

rad s

Omjer amplituda vibriranja može se odrediti iz prve jednadžbe sustava (2.15), * A1 ' m2α 12 Ω i mα 12 Ω i (( %% = = ) A2 & i 1 − m1α 11Ω i 2 − mα 11Ω i

Ako se uzastopce uvrsti prikazani na slici 2.22,

1

i

2 tada

se dobivaju prirodni oblici vibriranja koji su ,1-

{Φ1 } = ./ .0

.11.2 ,1{Φ 2 } = ./ .0 .1− 1.2 1 1. oblik

2 1

1

-1

1 2. oblik

1

"vor


106

2

2. Sustavi s dva stupnja slobode gibanja Za odre#ivanje amplituda vibriranja kod prisilnih vibracija rješava se prema (2.14) sljede!i nehomogeni sustav jednadžbi !1 − λ 2α 11 m1 − λ 2α 12 m2 " ,.W 1 -. ,. F 0α 11 -. 4 3/ 0=/ 0 4 − λ 2α 21m1 1 − λ 2α 22 m2 3 .1W 2 .2 .1 F 0α 21 .2 # $

Koriste!i sve gore navedene uvjete i zadane vrijednosti, slijede amplitude vibriranja α 11 − λ 2 W 1 = W 2 =

m

2 2 α 11 ( ) − α 12 2

F 0

P (λ )

α 12 F 0 P (λ )

Uvrštavanjem broj"anih vrijednosti proizlazi W 1 = 0,00078 m W 2 = 0,00071 m

Uo"ljivo je da je

W 1 W 2

≈ 1 , što bi odgovaralo prvom prirodnom obliku vibriranja. To je logi"no,

* rad ' s obzirom da frekvencija uzbude λ ( 20 % približno odgovara prvoj prirodnoj frekvenciji s & ) * rad ' ω 1 ( 25 %. s & )

Amplitude vibriranja mogu se odrediti i metodom superpozicije prirodnih oblika vibriranja, W 1 = ( A1 )1 Q1 + ( A1 )2 Q2 W 2 = ( A2 )1 Q1 + ( A2 )2 Q2

Amplitude poop!enih koordinata glase Q1 =

1 1 − β 12

(Q1 )st

Q2 =

1 1 − β 22

(Q2 )st

gdje je β 1 =

λ = 0,8 ω 1

(Q1 )st =

f 1

K 1

β 2 =

λ = 0,283 ω 2

(Q2 )st =

f 2

K 2

f 1 = ( A1 )1 F 0α 11 + ( A2 )1 F 0α 21 = F 0 (α 11 + α 21 ) f 2 = ( A1 )2 F 0α 11 + ( A2 )2 F 0α 21 = F 0 (α 11 + α 21 )

107

Teorija konstrukcija !1 0" ,.1-. K 1 = Φ 1 [k ]{Φ1 } = 1 1 4 3/ 0 = 2 4#0 13$ .11.2 !1 0" ,. 1 -. K 2 = Φ 2 [k ]{Φ 2 } = 1 − 1 4 3/ 0 = 2 4#0 13$ .1− 1.2

Prema tome, proizlazi 1 2

(Q1 )st = (α 11 + α 21 ) F 0

1 2

(Q2 )st = (α 11 − α 21 ) F 0

1 1 (α 11 + α 21 ) F 0 = 1,389(α 11 + α 21 ) F 0 = 0,00741 m 1 − 0,8 2 2 1 1 (α − α 21 ) F 0 = 0,543(α 11 − α 21 ) F 0 = 0,000362 m Q2 = 2 2 11 1 − 0,283 Q1 =

te su amplitude vibriranja W 1 = 1 ⋅ 0,00741 + 1 ⋅ 0,000362 = 0,0078 m W 2 = 1 ⋅ 0,00741 − 1 ⋅ 0,000362 = 0,00705 m

Ovaj rezultat se dobro podudara s rezultatom dobivenim primjenom direktne metode.

108

3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi

TRE!I DIO 3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi U to"noj analizi vibracija sustava s više stupnjeva slobode gibanja mogu se primijeniti svi postupci koji su prikazani u Poglavlju 2 za sustav s dva stupnja slobode. Ali, ako se radi o sustavu s mnogo stupnjeva slobode, tada je to "na analiza op !enito složenija i zahtijeva mnogo rada i vremena. Me#utim, vrlo "esto se rezonantno podru" je frekvencije uzbude nalazi u podru " ju najnižih prirodnih frekvencija promatranog sustava. U takvom slu "aju, za izra"unavanje odziva sustava nije nužno provesti analizu slobodnih vibracija za sve oblike vibriranja, ve ! je dovoljno odrediti osnovnu i nekoliko najnižih prirodnih frekvencija. U ovom poglavlju prikazat !e se približna metoda Rayleighevog kvocijenta. Ova metoda može dati, uz korektnu pretpostavku osnovnog oblika vibriranja, vrlo dobru procjenu osnovne prirodne frekvencije sustava s mnogo stupnjeva slobode kao i kontinuiranih sustava.

3.1. Metoda Rayleighevog kvocijenta Poznato je da se u konzervativnim mehani "kim sustavima ukupna energija U ne rasipa, ve! ostaje sa "uvana. Takav sustav je neprigušeni linearni sustav koji slobodno vibrira. Kod njega se ukupna energija U javlja kao zbroj potencijalne i kineti "ke energije, U = E p + E k = konst.

U slu"aju harmonijskih vibracija odvija se neprestano proces pretvorbe jednog oblika energije u drugi, vidjeti sliku 3.1. U p

E

U k

E

π /2

π

3π /2

2π

ω t + ϕ

Slika 3.1. Energetska bilansa linearno neprigušenog sustava

Iz slike 3.1 je vidljiv odnos E p max = (E k )max

(3.1)

109

Teorija konstrukcija Iz odnosa (3.1) neposredno slijedi Rayleighev kvocijent, što se može pokazati na jednostavnom primjeru sustava s jednim stupnjem slobode gibanja (vidjeti sliku 1.6.). Slijedi 1 2 kx 2 1 2 E k = m x! 2 E p =

U slu"aju slobodnih harmonijskih vibracija, x = X cos ω t

te je

( E p )max = 1 kX 2 ( E k )max

2 1 2 2 = mω X 2

Primjenom izraza (3.1) dobivamo najjednostavniji oblik Rayleighevog kvocijenta ω 2 =

k m

3.1.1. Sustavi s više povezanih linearnih ! lanova

Postoje sustavi s više inercijskih "lanova koji su me#usobno povezani bilo krutim vezama, koloturama ili zup "astim prijenosom. Kod takvih sustava se gibanje svakog "lana može izraziti gibanjem jedne referentne to "ke sustava, tako da se de facto radi o sustavu s jednim stupnjem slobode gibanja. Kineti "ka energija takvog sustava glasi E k =

1 2 mef x! 2

! njena gdje je mef efektivna ili ekvivalentna masa koncentrirana u referentnoj to "ki, a x brzina vibriranja. Ako se za tu to "ku može odrediti i ekvivalentna krutost k ef , tada Rayleighev kvocijent glasi

ω 2 =

k ef mef

(3.2)

Primjena izraza (3.2) može se tako #e prikazati na jednostavnom primjeru iz Poglavlja 1 (vidi Primjer 1.7). Referentna to"ka je masa m s pomakom x 1. Potencijalna energija obzirom na ovu to"ku glasi E p =

1 2 kx 2 2

1 2 E p = k ef x1 2

110

r x 2 = x1 2 r 1

* r ' k ef = k (( 2 %% ) r 1 &

2

3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi Kineti"ka energija glasi 1 2 1 2 ! m x! + J ϕ 2 1 2 1 1

E k =

ϕ =

r 1

!= ϕ

x1

1 mef x!12 2

E k =

r 1

x!1

J m ef = m + r 12

Primjenom izraza (3.2) proizlazi * r ' k (( 2 %% r 1 ω 2 = ) & m+

2

J r 12

3.1.2 Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja

Vidjeli smo u Poglavlju 2, da se slobodne vibracije sustava s dva (i više) stupnjeva slobode gibanja mogu prikazati u matri "nom obliku (2.1). U slu"aju harmonijskih vibracija može se uz pomo! matrice krutosti [k] i matrice masa [m] izraziti najve !a potencijalna i kineti"ka energija u obliku,

( E p )max = 1 ( E k )max

X [k ]{X} 2 1 2 = ω X [m ]{X} 2

(3.3)

tako da Rayleighev kvocijent glasi ω 2 =

X [k ]{X} X [m ]{X}

(3.4)

gdje je {X} vektor amplituda pretpostavljenog osnovnog oblika vibriranja sustava. U slu "aju da je vektor {X} jednak vektoru to"nog prvog prirodnog oblika vibriranja {Φ1}, tada su u brojniku i nazivniku izraza (3.4) poop !ena krutost i masa za taj oblik vibriranja, vidjeti izraze (2.5), te se dobije to"na prva prirodna frekvencija sustava. Može se pokazati da izraz (3.4) daje vrijednost frekvencije ω koja je s gornje strane to "nosti u odnosu na to "nu vrijednost ω 1, tj. ω > ω 1 . Op!enito, kada se oblik vibriranja {X} pretpostavi stati "kom elasti"nom linijom sustava, dobivaju se dobra približenja osnovne frekvencije. U slu"aju kada se razmatraju vibracije fleksionih sustava s n diskretiziranih masa pomo!u metode utjecajnih koeficijenata, vidjeti Glavu 2.3, tada izrazi za najve !u potencijalnu i kineti"ku energiju glase

111


( E p )max = 1 ω 2 + miW i2 ( E k )max

2 i 1 4 = ω + miW i + m jW jα ij 2 i j

tako da Rayleighev kvocijent poprima oblik m W 2 + ω 2 = + m W + m W α i

i

i

i

i

i

j

j

(3.5)

ij

j

gdje su W i i amplitude pretpostavljenog osnovnog oblika vibriranja. 3.1.3. Sustavi s raspodijeljenom masom i krutosti

Za odre#ivanje najve!e kineti"ke i potencijalne energije sustava s raspodijeljenom masom i krutosti potrebno je poznavati osnovni oblik vibriranja. Ukoliko se osnovni oblik vibriranja pretpostavi na korektan na"in, tada se za takav sustav može pomo !u Rayleighevog kvocijenta pouzdano procijeniti osnovna prirodna frekvencija. Rayleighev kvocijent za takve sustave glasi ω 2 =

E p

max

( E k )max ∗

(3.6)

U ve v e!ini slu"ajeva raspodijeljeni sustavi se sastoje od opruga, štapova, vratila ili greda, koji imaju raspodijeljenu masu i krutost. Stoga su za ovakve elemente u Tablici 3.1 prikazani "lanovi kvocijenta (3.6) kao funkcije pretpostavljenog prirodnog oblika vibriranja ϕ ( x ) . Element

( E k ∗ max

Opruga

1 m 2 ϕ ( x )d x 2 50 l

Štap

1 m 2 ϕ ( x )d x 2 50 l

Vratilo

1 J 2 ϕ ( x )d x 2 50 l

Greda

1 m 2 ϕ ( x )d x 2 50 l

E p

max

l

1 2 k ϕ 2 max

l

1 * dϕ ' EA ( % d x 2 50 ) d x &

l

l

l, m, k 2

2

l

1 * dϕ ' GI p ( % d x 5 20 ) d x &

l

l * d 2ϕ ' 1 EI ( 2 % d x ( d x % 2 50 ) &

2

l, m, EA

l, J, GI p

l, m, EI

Tablica 3.1 Najve!a potencijalna i kineti"ka energija raspodijeljenih sustava

112

3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja gibanj a i kontinuirani sustavi

3.2. Primjeri PRIMJER 3.1 Za slobodno oslonjenu gredu prema slici 3.2 odrediti osnovnu prirodnu frekvenciju primjenom Rayleighevog kvocijenta. Pretpostaviti osnovni oblik vibriranja u obliku π x

a)

ϕ ( x ) = wmax sin

b)

stati"ke elasti"ne linije za slu "aj jednoliko raspodijeljenog optere !enja 3 4 * x 16 * x ' * x ' '% ( ϕ ( x ) = wmax − 2( % + ( % ( l ) l & ) l & % 5 ) &

l

Zadano: l , m, EI

x

m, l, EI

w Slika 3.2. Primjer 3.1

Za rješenje zadatka primijenit !emo oblik (3.6) Rayleighevog kvocijenta i izraze za energije iz Tablice 3.1.

Slu#aj a) ϕ ( x ) = wmax sin

x π l 2

d 2ϕ x π * π ' wmax ( % sin = − l d x 2 ) l & 4 l

2

1 1 2 π 4 EI * π x ' 2 * π ' 1 5 ) ( sin l &% d x = 2 EIwmax ) ( l &% 2 l = 2 wmax 2 l 3 0

( E p )max

1 2 * π ' = EIwmax ( % 2 ) l &

( E k )max

1 m 2 * π x ' 1m 2 1 1 2 m wmax 5 ( sin wmax l = wmax = % d x = 2 l 2 l 2 2 2 l & 0 )

∗

l

2

Proizlazi ω 2 = π 4

EI 3

ml

= 97,4

EI ml 3

113


Slu#aj b) U slu"aju jednolikog optere!enja grede jednadžba stati "ke elasti"ne linije glasi 3 4 ! x 16 * x ' * x ' " ϕ ( x ) = wmax 4 − 2( % + ( % 3 5 4# l ) l & ) l & 3$

! x * x ' 2 " d 2ϕ 192 wmax 4− + ( % 3 = d x 2 5l 2 4# l ) l & 3$ 2

( E p )max

2 2 l 1 * 192 ' 2 ! x * x ' " 1 2 32 ⋅ 192 EI = EI ( 2 % wmax 5 4− + ( % 3 d x = wmax 2 ) 5l & 2 125 l 3 04 # l ) l & 3$

( E k ∗ )max

2 3 4 l 1 m * 16 ' 2 ! x * x ' * x ' " 1 2 128 ⋅ 31 m = ( % wmax 5 4 − 2( % + ( % 3 d x = wmax 2 l ) 5 & 2 25 315 l l & l & 3 ⋅ ) ) 4 0# $

2

Proizlazi ω 2 =

32 ⋅ 192 25 ⋅ 315 EI EI 97 , 55 ⋅ = 125 128 ⋅ 31 ml 3 ml 3

U slu"aju a) imali smo to"an osnovni oblik vibriranja grede na dva oslonca. Pokazalo se, usporedbom a) i b), da je pretpostavka oblika vibriranja sa stati "kom elasti"nom linijom vrlo pouzdana. PRIMJER 3.2 Za vibracijski sustav prema slici 3.3 odrediti osnovnu prirodnu frekvenciju primjenom Rayleighevog kvocijenta uzevši u obzir i ukupnu masu opruge m0. Pretpostaviti linearnu raspodjelu deformacija ϕ ( x ) opruge. Zadano: m, k , m0

x

k

d x

m0

m

umax


114

l

3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi U ovom slu"aju imamo sustav s jednom koncentriranom i jednom raspodijeljenom masom (opruga). Stoga, kod primjene izraza (3.6) u slu "aju harmonijskih vibracija vrijedi 2 ( E p )max = 1 ku max

( E k ∗ )max

2 l 1 2 1 m0 2 ϕ ( x )d x = u max + 5 2 2 0 l

Budu!i da je ϕ ( x ) =

x l

⋅ u max

proizlazi

( E k )max ∗

2 l 1 2 1 m0 * x 1 2 1 m0 2 ' u = mu max + ( ⋅ u max % d x = mu max + 5 2 2 l 0 ) l 2 2 3 max &

Uvrštavanjem u (3.6) dobivamo ω 2 =

k m ' * (( m + 0 %% 3 & )

Uo"ljivo je, da u gornjem izrazu opruga sudjeluje s

1 svoje ukupne mase u vrijednosti 3

osnovne frekvencije.

115

Teorija konstrukcija PRIMJER 3.3 Za konzolu vezanu na slobodnom kraju s dvije opruge prema slici 3.4 odrediti približnu prvu prirodnu frekvenciju primjenom Rayleighevog kvocijenta. Pretpostaviti osnovni oblik vibriranja konzole stati "kom elasti"nom linijom pri djelovanju koncentrirane sile na slobodnom kraju, a oblik vibriranja opruge s linearnom raspodjelom deformacija. Zadano: l , EI , m, k , m0

k, m 0 l, m, EI

k, m 0


I ovdje !e se primijeniti Rayleighev kvocijent u obliku (3.6). Obje energije za zadani sustav glase 2

( E p )max

l * d 2 w ' 1 1 2 = 5 EI ( 2 % d x + 2 ⋅ kwmax ( % 2 0 ) d x & 2

( E k )max

l 1 m 2 1 m0 2 w = 5 w ( x )d x + 2 ⋅ 2 0 l 2 3 max

∗

Pritom je pretpostavljen oblik vibriranja ! 1 * x ' 2 1 * x ' 3 " w( x ) = 3wmax 4 ( % − ( % 3 6 ) l & 3$ 4# 2 ) l &

Ako je d2w 3 * x ' wmax (1 − % = d x 2 l ) l &

116

3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi tada je ' 2 * 3 EI ( E p )max = 1 wmax ( 3 + 2k %

( E k ∗ )max

2 ) l & m 1 2 33 1 2 m + wmax = wmax ⋅2 0 2 140 2 3

te približna osnovna prirodna frekvencija glasi 3 EI 2

ω =

l 3

+ 2k

33 2 m + m0 140 3

PRIMJER 3.4 Za konzolu optere!enu teretom mase M na slobodnom kraju prema slici 3.5 odrediti osnovnu prirodnu frekvenciju primjenom Rayleighevog kvocijenta. Osnovni oblik vibriranja konzole pretpostaviti na na"in: x ' π * a) ϕ ( x ) = wmax (1 − cos % to"an oblik 2l & ) x 2

b)

ϕ ( x ) = wmax

c)

! 3 * x ' 2 1 * x ' 3 " ϕ ( x ) = wmax 4 ( % − ( % 3 2 ) l & 3$ 4# 2 ) l &

l 2

parabola stati"ka elasti"na linija

gdje je wmax progib na slobodnom kraju konzole. Zadano: l , m, EI , M

l, m, EI

M wmax


I ovdje se možemo poslužiti Rayleighevim koeficijentom u obliku (3.6) s time, da treba odrediti oba oblika energije sustava.

117


Slu#aj a) * )

π x '

ϕ ( x ) = wmax (1 − cos

% 2l &

2

d 2ϕ π x * π ' wmax ( % cos = 2l d x 2 ) 2l & l

π 1 x ' 2 * π ' * 2 ( E p )max = 1 EIwmax ( % 5 ( cos %d x = EIwmax

2

=

) 2l & 0 )

2l &

2

π 4

1

⋅ l 16l 4 2

1 2 π 4 EI w 2 max 32 l 3 2

l

x ' π 1 1m 2 * * 3 4 ' 1 2 2 2 ( E k ) = 1 m wmax wmax ⋅ l ( − % + Mwmax (1 − cos % d x + Mwmax = 5 2 l 2l & 2 2 l ) 2 π & 2 0 ) ∗

=

" 1 2 ! * 3 4 ' wmax 4m( − % + M 3 2 # ) 2 π & $

Proizlazi, π 4 ω 2 =

EI

EI 3 , 04 = 32 (0,227m + M )l 3 (0,227m + M )l 3

Slu#aj b) ϕ ( x ) = wmax

x 2 l

d 2ϕ 2wmax = l 2 d x 2 l 1 4 2 1 2 EI 2 ( E p )max = EI 4 wmax 5 d x = 1 EI 44 wmax l = wmax ⋅4 3 2 l 2 l 2 l 0

( E k ∗ ) = 1 ml 2

=

1

l

1

5

2 w2 x 4 d x + Mwmax = 4 max 2 l 0

1 m 1 2 l 5 1 2 wmax + Mwmax 4 2 l l 5 2

1 2 wmax (0,2m + M )l 3 2

Proizlazi, ω 2 = 4

118

EI

(0,2m + M )l 3

3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi

Slu#aj c) ! 3 * x ' 2 1 * x ' 3 " ϕ ( x ) = wmax 4 ( % − ( % 3 2 ) l & 3$ 4# 2 ) l &

d 2ϕ 3 * x ' = wmax 2 (1 − % 2 l & d x l )

( E p )max

1 2 * 3 ' = EIwmax ( 2 % 2 ) l & =

2 l

2

1 9 1 * x ' 2 x EIw 1 d − = ⋅ l ( % max 5 ) l & 4 3 2 l 0

1 2 EI 3 w 2 max l 3 2

( E k )max ∗

2 3 l 1 m 2 1 ! * x ' * x ' " 1 1 m 2 1 33 1 2 2 wmax 5 43( % − ( % 3 d x + Mwmax wmax ⋅ l + Mwmax = = 2 l 4 0 4# ) l & ) l & 3$ 2 2 l 4 35 2 1 2 = wmax (0,24m + M ) 2

Proizlazi, ω 2 =

3 EI

(0,24m + M )l 3

Ako se frekvencija u slu "ajevima b) i c) usporedi s to "nom frekvencijom u slu"aju a), tada proizlazi da osnovni oblik vibriranja pretpostavljen stati "kom elasti"nom linijom (slu"aj c)) daje mnogo pouzdaniji rezultat nego parabola (slu "aj b)). PRIMJER 3.5 Za vibracijski sustav, koji se sastoji od štapa i opruge prema slici 3.6, odrediti osnovnu prirodnu frekvenciju primjenom Rayleighevog kvocijenta. Upotrebiti to"an osnovni oblik vibriranja štapa. Zanemariti masu opruge. Zadano: l , m, EA, k k

l, m, EA


Osnovni oblik vibriranja uzdužnih vibracija štapa glasi ϕ ( x ) = u max sin

x π

2l 119

Teorija konstrukcija gdje je umax uzdužni pomak na slobodnom kraju štapa. Stoga, najve!e vrijednosti za oba oblika energije u Rayleighevom kvocijentu (3.6) iznose

( E p )max

1 2 * π l ' = EAu max ( % 2 ) 2 & =

( E k )max ∗

2 l

2

1 2 1 1 2 * π x ' 2 * π l ' 1 cos d x ku EAu l ku max + = ⋅ + ( % ( % max max 5 ) 2l & 2 2 2 2 2 ) & 0

' 1 2 * π 2 l 3 u max ( EA + k % ( 8 % 2 ) & l

1 m 2 * π x ' 1m 2 1 u max 5 ( sin u max ⋅ l = %d x = 2 l 2l & 2 l 2 0 ) =

1 2 m u 2 max 2

Proizlazi, π 2 l 3 ω 2 =

4

EA + 2k m

PRIMJER 3.6 Za konzolni fleksijski sustav s dvije mase prema slici 3.7a odrediti osnovnu prirodnu frekvenciju primjenom Rayleighevog kvocijenta. Osnovni oblik vibriranja pretpostaviti stati"kom elasti"nom linijom pri djelovanju sila F 1 i F 2 prema slici 3.7b (sile su istog omjera kao i mase). 3 Zadano: l , EI , m, m1 = m, m 2 = m 2

l /2 , EI

m1

a)

l /2 , EI

1

F 1

m2

2

F 2

b) w1 Slika 3.7. Primjer 3.6

120

w2

3. Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi Slobodne vibracije prikazanog fleksijskog sustava mogu se prikazati pomo !u utjecajnih koeficijenata, vidjeti Glavu 2.3.1, i to sa sljede !om matri"nom jednadžbom !!1 - !1 0" , w1 - ,0! m1α 11 m 2α 12 " ,. w . . . . . 4 3/ 0+4 3/ 0=/ 0 !! 2 . 4#m1α 21 m 2α 22 3$ .1w 2 4#0 13$ .1w2 .2 .10.2

Utjecajni koeficijenti glase α 11 =

l 3

α 12 = α 21 =

24 EI

5l 3 48 EI

α 22 =

l 3

3 EI

To"no rješenje za osnovni na "in vibriranja ovog sustava glasi ω 12 =

2,61 EI

prirodna frekvencija

ml 3

, w1 -. ,. 1 -. 0=/ 0 .1w2 .2 .13,09.2

{Φ1 } = ./

prirodni oblik vibriranja

Za približno odre#ivanje 1 koristit !emo Rayleighev kvocijent u obliku (3.4) i (3.5). U oba slu"aja moramo pretpostaviti osnovni oblik vibriranja sa stati "kom elasti"nom linijom prema slici 3.7b. Poslužit !emo se utjecajnim koeficijentima 8 Fl 3 w1 = F 1α 11 + F 2α 12 = 48 EI 47 Fl 3 w2 = F 1α 21 + F 2α 22 = 96 EI te je w2 w1

= 2,94

dakle

,. 1 -. {Φ1 } = / 0 .12,94.2

Rayleighev kvocijent u obliku (3.4) zahtijeva sljede !i prora"un: !3 " 4 2 mα 11 mα 12 3 ,. 1 -. ml 3 3 , 709 Φ [m]{Φ} = 1 2,94 4 = 0 3/ 3 EI 4 mα 21 mα 22 3 .12,94.2 2 # $ !1 0" ,. 1 -. Φ [k ]{Φ} = 1 2,94 4 3/ 0 = 9,644 4#0 13$ .12,94.2 ω 2 =

9,64 EI EI = 2,6 3 3 3,71 ml ml

121

Teorija konstrukcija Ako koristimo Rayleighev kvocijent u obliku (3.5), tada slijedi, ω 2 =

m1 w12 + m 2 w22 m1 w1 (m1 w1α 11 + m 2 w2α 12 ) + m 2 w2 (m1 w1α 21 + m 2 w2α 22 )

Uvrštavanjem odgovaraju!ih vrijednosti w1 = 1

w2 = 2,94

u gornji razlomak dobivamo ω 2 =

EI 10,14 EI = 2,605 3 3 3,89 ml ml

Ako se dobiveni rezultati usporede s to "nim rješenjem ponovo slijedi zaklju "ak, da pretpostavka osnovnog oblika vibriranja stati"kom elasti"nom linijom daje vrlo pouzdanu procjenu osnovne prirodne frekvencije sustava.

122

Zbirka iz dinamike.pdf

Recommend Documents