Transformada Z Objetivos Aplicar la definición de transformada Z a funciones elementales discretas. 2 Desarrollar y aplicar las propiedades de la transformada Z a funciones discretas. 3 Demostrar las propiedades de la transformada Z e interpretarlas con ejemplos. 4 Obtener la transformada Z inversa de una transformada, por medio de diversos métodos. 5 Resolver ecuaciones de recurrencia con el uso de la transformada Z. 6 Aplicar la definición de la transformada Z modificada. 7 Conocer la aplicación de la transformada Z a otros campos de la ingeniería.
CAPÍTULO 3
1
3.1 Introducción Debido a que el enfoque de esta obra está orientado al estudio de las señales y sistemas discretos utilizados en el análisis de sistemas de control digital, nos concentraremos en las señales discretas y(k) que estén definidas para k ≥ 0, a las que llamaremos señales causales, asumiendo que el índice k representa el tiempo discreto. En el capítulo anterior, nos concentramos en el estudio de ecuaciones de recurrencia lineales y en la obtención de la solución de dichas ecuaciones. En este capítulo vamos a estudiar las propiedades de la transformada Z y sus aplicaciones, las cuales nos van a permitir encontrar las soluciones de esas mismas ecuaciones, pero de una manera algebraica, es decir, relacionada con polinomios y sus raíces. Este enfoque a la solución de estos problemas es similar al empleado en el estudio de sistemas continuos lineales y la transformada de Laplace, como se ilustra en la figura 3.1. Sistemas continuos lineales, f (t)
Transformada de Laplace F(s)
Sistemas discretos lineales, f (k)
Transformada Z F(z)
Figura 3.1 Relación de áreas de aplicación de la transformada de Laplace y la transformada Z.
62
Capítulo 3
Transformada Z
3.2 Conceptos fundamentales En seguida, establecemos la definición de la transformada Z de una señal discreta. DEFINICIÓN 3.1
{
}
Sea y y(k) k N , y(k) C o { y(0), y(1), y(2),…} una secuencia de números reales o complejos. La transformada Z de la secuencia (o señal) y(k), denotada por Y(z), se define como la serie: ∞
Y (z ) = Z [ y(k)] = ∑ y(k)z −k
z ≥R
k=0
(3.1)
donde z es una variable compleja, z = s + jw, y definida en una zona de convergencia z ≥ R . Debido a que la transformada Z se define a partir de una serie de potencias, es importante preguntarnos sobre cuestiones como en qué casos esa serie converge; si es así, en qué zona del plano complejo converge. Además, cabe preguntarnos si toda sucesión { y(k)} tiene una transformada Z asociada Y (z), y también, si toda función Y(z) representa una transformada de una sucesión { y(k)}. En esta sección responderemos estas interrogantes fundamentales para el estudio de la transformada Z, aun cuando el tratamiento no es formal. Le aconsejamos que si está interesado en el estudio de un tratamiento formal del tema consulte la obra de R. Vich (Vich, 1987). En cuanto a la convergencia de una serie de potencias, es importante determinar la zona de convergencia de la misma, para ello, si la serie ∞
F (z ) = ∑ f (k)z −k
(3.2)
k=0
converge en un punto z 0, entonces la serie converge absolutamente afuera del círculo z > z 0 , y converge de manera uniforme en toda región cerrada z ≥ R > z 0 . Con este resultado tenemos que la serie converge para todo z > R y diverge para todo z < R, y R es el radio de convergencia de la serie. Este concepto lo ilustramos en la figura 3.2. v
Zona de convergencia R u
Figura 3.2 Zona de convergencia de la transformada Z.
El otro resultado importante que necesitamos establecer es el relacionado con qué tipo de sucesiones {f (k)} podemos encontrar con la transformada Z, es decir debemos determinar cuáles sucesiones tienen transformada Z. Para ello, definimos que { f (k)} es una sucesión de tipo exponencial si existe un M > 0, un s0 ≥ 0 y k0, ≥ 0, de tal manera que
f (k) < M exp ( s0k ) , k ≥ k0
(3.3)
Con base en esta definición tenemos que toda sucesión que sea de tipo exponencial tiene transformada Z. Este resultado es muy importante pues establece que no todas las sucesiones posibles tienen transformada Z, como se ilustra en el ejemplo 3.1.
3.2
Conceptos fundamentales
EJEMPLO 3.1
Determine si las siguientes sucesiones tienen transformada Z. a) f (k) = a k b) g(k) = k n , n ∈N c) f (k) = a k
2
RESPUESTA
a) y b) son sucesiones exponenciales; c) no lo es. Gráficamente, la definición de sucesión exponencial establece que para que una sucesión tenga transformada Z no debe crecer más rápido que una función exponencial, como se puede ver en la figura 3.3. f
Zona para sucesiones exponenciales
R k
Figura 3.3 Interpretación de sucesión exponencial.
Otro resultado importante en la teoría de la transformada Z es el relacionado con la unicidad de la transformada, es decir, que si hay dos transformadas F (z ) = Z [ f (k)] y G(z ) = Z [ g(k)] y éstas son iguales, entonces f (k) = g(k) ∀ k; en la figura 3.4 ilustramos este concepto. Finalmente, mencionaremos una propiedad más, la cual establece las condiciones que si existe una transformada F (z ) = Z [ f (k)] en una región de convergencia, entonces F (z ) es una función regular o analítica1 en esa misma región, es decir, que en esa región podemos hablar de la derivada de F(z), F ʹ(z).
f (k)
F (z)
g (k)
G (z)
F (z) = G (z)
Tiempo discreto
Plano complejo Entonces f (k) = g (k)
Figura 3.4 Unicidad de la transformada Z. 1
En la teoría de variable compleja, una función F (z ) = u(x, y) + iv(x, y) es analítica en una región G si cumple las siguientes
∂u ∂v ∂u ∂v condiciones (condiciones de Cauchy-Riemann): en esa región, y se dice que existe la derivada de F(z) = y =− ∂x ∂ y ∂ y ∂x en G [Churchill, 1988].
63
64
Capítulo 3
Transformada Z
Como consecuencia de las discusiones anteriores, podemos establecer una propiedad fundamental de la transformada Z, la cual se refiere a la linealidad. PROPIEDAD 1
Teorema de linealidad
{
Consideremos el siguiente conjunto de funciones que tienen transformada Z, V = f (k) f tiene transformada 2 V = f (k) f tiene transformada Z , Z [ f (k)] = F (z ) . Este conjunto V forma un espacio vectorial y como consecuencia se tiene que
{
}
Z [ af 1(t ) + bf 2 (t )] = Z [ af 1(t )] + Z [bf 2 (t )] = aF1(z ) + bF2 (z )
(3.4)
donde a, b ∈ C. DEMOSTRACIÓN
Sean f1(k) y f2(k) dos funciones que tienen transformada Z F1(z) y F2(z), respectivamente, Por lo que, aplicando la propiedad de convergencia de la serie de potencias que define a la transformada Z, se tiene ∞
∞
Z [ f 1(k) + f 2 (k)] = ∑ [ f 1(k) + f 2 (k)] z −k = ∑ ⎡⎣ f 1(k)z −k + f 2 (k)z −k ⎤⎦ k=0 ∞
= ∑ f 1(k)z k=0
−k
k=0
∞
+ ∑ f 2 (k)z k=0
−k
= F1(z ) + F2 (z )
es decir, que la suma de dos funciones transformables también es transformable y su transformada es la suma de las transformadas de cada una de aquéllas. Ahora bien,
∞
∞
k=0
k=0
Z [ af 1(k)] = ∑ af 1(k)z −k = a ∑ f 1(k)z −k = aF1(z )
por lo tanto, la transformada de una función transformable multiplicada por un escalar también es transformable y su transformada es el escalar por la transformada de la función en cuestión. Por último,
∞
Z [ 0(k)] = ∑ 0z −k = 0 k=0
{
}
Por lo que se concluye que el conjunto V = f (k) f tiene transformada Z , Z [ f (k)] = F (z ) constituye un espacio vectorial, por lo que también nos referiremos a la transformada Z como un operador lineal.
Debido a que la transformada Z se define como una serie de potencias y ésta converge para una determinada región, es importante usar para el estudio de los sistemas de control un resultado fundamental de la teoría de variable compleja relacionada con el teorema de continuación analítica de dos funciones (Churchill, 1988). Esta propiedad consiste en que si una función F1 es analítica en una región R1 y otra función F2 es analítica en una región R2, y R1 ∩ R2 ≠ φ y se cumple que F1(z ) = F2 (z ), z ∈R1 ∩ R2, entonces F2 es la continuación analítica de F1 y tenemos que F1 = F2, y que
2
⎧ F1(z ), ⎪ F (z ) = ⎨ ⎪ F2 (z ), ⎩
z ∈R1
(3.5)
z ∈R2
Para que un conjunto W sea un espacio vectorial, basta demostrar que si v, w entonces l w ∈ W, con l ∈ C y, iii) 0 pertenece a W, 0 ∈ W.
∈
W, entonces i) v + w
∈
W, ii) si w
∈
W,
3.2
Conceptos fundamentales
es analítica en R1 ∪ R2 y F es la continuación analítica de F1 y F2 en R1 ∪ R2. Con este resultado, estudiaremos las transformadas en todo el plano z donde éstas sean analíticas. En la figura 3.5 presentamos un mapa conceptual de estos conceptos elementales de la transformada Z para tener una idea global de los mismos. Ahora supongamos que f (t) es una señal continua definida en t ≥ 0. Una forma de obtener una señal discreta a partir de ella es tomar muestras equidistantes una de otra, mediante un proceso de muestreo3, el cual se puede lograr con un tren de impulsos P(t): P(t ) =
k=0
(t − kT )
(3.6)
La señal muestreada se obtiene, en forma analítica, multiplicando el tren de impulsos P(t) por la señal f (t), así:
∞
∞
k=0
k=0
f ∗ (t ) = f (t )P(t ) = ∑ f (t )δ (t − kt ) = ∑ f (kT )δ (t − kT )
(3.7)
Si tomamos la transformada de Laplace a f ∗ (t ), entonces:
⎡∞ ⎤ ∞ L ⎡⎣ f ∗ (t )⎤⎦ = L ⎢ ∑ f (kT )δ (t − kT )⎥ = ∑ f (kT )L [δ (t − kT )] ⎣ k=0 ⎦ k=0
(3.8)
∞
= ∑ f (kT )e −kTs = F ∗ (s) k=0
Al comparar con la definición de la transformada Z, se tiene que si eTs = z , así: ⎛1 ⎞ ∞ F ∗ (s) = F ∗ ⎜ ln z ⎟ = ∑ f (kT )z −k = F (z ) ⎝T ⎠ k=0
(3.9)
Si sólo se toman en cuenta los puntos muestreados de f (t), entonces la siguiente igualdad es válida: ∞
Z [ f (t )] = Z ⎡⎣ f ∗ (t )⎤⎦ = F (z ) = ∑ f (kT )z −k
(3.10)
k=0
De esta manera, podemos hablar de la transformada Z de una función continua, como lo ilustraremos en la siguiente sección. A la transformada Z F(z) se le conoce como el equivalente discreto de F(s). Transformada Z Propiedades básicas tiene condiciones de convergencia
tiene condiciones de existencia
tiene relación con
converge absoluta y uniformemente
sucesiones de tipo exponencial
se amplía la convergencia
la cual es
produce
teorema de continuación analítica
una sucesión f (k)
le corresponde
funciones analíticas
constituye
un operador lineal tiene propiedades de transformada Z única
Figura 3.5 Mapa conceptual sobre la existencia de la transformada Z y sus propiedades fundamentales. 3
En el capítulo 4 estudiaremos con mayor profundidad el caso del muestreo periódico de señales continuas.
65
66
Capítulo 3
Transformada Z
3.3 Transformada Z de funciones elementales En esta sección presentamos el cálculo de la transformada Z de las funciones elementales más usadas en el análisis de sistemas discretos, las cuales vamos a utilizar de manera constante a lo largo de los siguientes capítulos de este libro. EJEMPLO 3.2
En la tabla 3.1 aparecen las funciones discretas más usadas en el análisis de sistemas discretos, junto con su transformada. Por medio de la aplicación de la definición de la transformada Z, corrobore esos resultados. TABLA 3.1 Pares de transformadas de las funciones discretas elementales
a) b)
f (k)
F(z)
d (k)
1
d (k
z-n z z −1 z z −e− T z z–a
- n)
c)
1(k)
d )
e t≥0
e)
a k
-at
SOLUCIÓN
Recuerde la definición de la transformada Z: ∞
F (z ) = Z [ f (k)] = ∑ f (k) z −k
r 0 ≤ z ≤ R0
k=0
Por lo tanto, al aplicar la definición de la función impulso, tenemos que: ∞
Z[δ (k − i)] = ∑δ (k − i)z −k k=0
−1
−i
= δ (−i) + δ (1− i)z ++ δ (0)z + δ (1)z
−i−1
+
de donde el caso del inciso a) se cumple con i = 0, y el caso del inciso b) con i = n. Para el caso de un escalón unitario discreto, caso del inciso c), tenemos que
Z[1(k)] =
k=0
1(k)z − k = 1+ z −1 + z −2 + z −3 +
a partir de este desarrollo, vemos que hay un patrón en la generación de cada término de la serie, el cual es similar al de la serie geométrica con r = z −1, por lo que esta serie converge si z −1 < 1, es decir, converge en una zona exterior al círculo unitario en el plano z, y la transformada está dada por
Z[1(k)] =
k=0
1(k)z − k = 1+ z −1 + z −2 + z −3 +
=
z , z >1 z −1
El caso del inciso d) representa una función exponencial continua, la cual necesitamos discretizar para calcular su transformada Z; esto lo logramos tomando valores equidistantes de la función continua con el cambio de variable t = kT, que resulta en:
∞
Z[e −at ] = Z[e −akT ] = ∑ e −akT z −k = 1+ e −aT z −1 + e −2aT z −2 + e −3aT z −3 + k=0
3.3
Transformada Z de funciones elementales
de nuevo, este desarrollo sigue el patrón de una serie geométrica con r = e −aT , por lo que z Z[e −at ] = Z[e −akT ] = , e −aT z −1 < 1 z − e −aT es decir, que la transformada Z de la función exponencial continua converge para todo z exterior al círculo de radio e −aT . El caso del inciso e) es una función exponencial discreta, por lo que su transformada Z está dada por ∞
Z[a k ] = ∑ a k z −k =1+ az −1 + a 2 z −2 + a 3 z −3 +
k=0
y una vez más, esta serie sigue el patrón de una serie geométrica con r = a, por lo que z Z[a k ] = , az −1 < 1 z −a En el ejemplo anterior, vemos que las transformadas encontradas pueden expresarse como el cociente de dos polinomios: B(z ) (3.11) A(z ) A las raíces del polinomio B(z) se les conoce como ceros de F(z), y a las raíces del polinomio A(z) se les conoce como polos de F(z). Como una aplicación del resultado del teorema de la continuación analítica visto anteriormente, vamos a analizar la transformada Z para el caso de la función escalón unitario discreto. Su transformada está dada por: z (3.12) F (z ) = ,si z > 1 z −1 Es decir, que la zona de convergencia para la transformada Z del escalón unitario discreto es el exterior del círculo unitario. Como veremos más adelante en otros capítulos del libro, el interior del círculo unitario juega un papel crucial en el estudio de la estabilidad de sistemas discretos, lo cual crea un conflicto, pues no podríamos analizar estos sistemas si empleáramos esta función. El resultado del teorema de continuación analítica resuelve este conflicto de la siguiente manera. Considere la siguiente función: z (3.13) G(z ) = z −1 la cual es una función analítica definida en el plano z, con excepción en el punto z = 1. Estas dos funciones son iguales en z > 1, por lo que podemos decir que G(z) es la continuación analítica de F(z). Con base en este razonamiento, no mencionaremos las zonas de convergencia de transformadas Z en adelante y simplemente obtendremos y manipularemos su expresión analítica. F (z ) =
EJEMPLO 3.3
Calcule la transformada Z de f (t ) = cos ω t . SOLUCIÓN
Para obtener la versión discreta de f (t) necesitamos tomar muestras de esta función en instantes equidistantes, por medio del cambio de variable t = kT, que produce:
f (kT ) = cos ω kT
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68
Capítulo 3
Transformada Z
Al aplicar la definición de la transformada Z:
∞
F (z ) = Z [ f (kT )] = ∑ z −k cos ω kT = 1+ z −1 cos ωT + z −2 cos 2ωT + k=0
para poder encontrar una expresión cerrada a esta serie, es necesario usar la identidad de Euler: cos x =
e jx + e − jx 2
al sustituir en la serie y aplicando la propiedad de linealidad: ∞ ⎛ e jω kT + e − jω kT F (z ) = ∑ ⎜ 2 k=0 ⎝
⎞ −k ⎟⎠ z
e jω kT −k ∞ e − jω kT −k =∑ z +∑ z 2 2 k=0 k=0 ∞
Para el primer término tenemos que ⎡ e jω kT ⎤ e jω kT −k z =Z⎢ ⎥ 2 k=0 ⎣ 2 ⎦ ∞
∑
y al aplicar el resultado del caso d ) que aparece en la tabla 3.1, se obtiene ⎡ e jω kT Z⎢ ⎣ 2
⎤ 1 z ⎥= 2 z − e jωT ⎦
similarmente con el segundo término tenemos ⎡ e − jω kT ⎤ 1 z Z⎢ ⎥= − jωT ⎣ 2 ⎦ 2 z −e
Por lo tanto,
1⎡ z z ⎤ jωT + ⎢ 2 ⎣z −e z − e − jωT ⎥⎦ z(z − cos ωT ) = 2 z − 2cos ωTz + 1 F (z ) =
EJERCICIO 3.1
Utilizando los resultados y procedimientos anteriores, compruebe las siguientes transformadas Z de la tabla 3.2. TABLA 3.2 Transformadas Z
a)
b)
f (t)
F (z)
sen wt
z(sen wT ) z 2 2cos wT + 1
e α t cos β t
z
2
z(z e T cos bT ) 2e T cos bTz + e 2
T
3.3
Transformada Z de funciones elementales
A lo largo de los siguientes capítulos, será necesario obtener el equivalente de una transformada de Laplace, X(s) a su transformada Z, X(z); para ello, ilustraremos el procedimiento con el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3.4
Suponga que tenemos una señal continua x(t) cuya transformada de Laplace está dada por X (s) =
1 . Calcule la transformada Z, Z[x(t )] = X (z ). s(s + 1)
SOLUCIÓN
Para obtener X(z), es necesario que primero conozcamos x(kT), lo que a su vez implica que debamos conocer la función continua x(t), la cual se puede conocer por medio de la transformada de Laplace inversa, como mostramos en seguida calculando sus fracciones parciales: X (s) =
1 1 s s +1
Por lo tanto, 1 1 ⎤ = 1(t ) − e −t x(t ) = L−1 [ X (s)] = L−1 ⎡⎢ ⎤⎥ − L−1 ⎡⎢ ⎣s ⎦ ⎣ s + 1 ⎥⎦
Al aplicar la transformada Z a esta función continua, previamente discretizando (o muestreando de manera periódica) en la forma presentada en la sección anterior, tenemos que z z Z [ x(t )] = Z [ x(kT )] = Z ⎡⎣1(k) − e −kT ⎤⎦ = − z − 1 z − eT Finalmente: X (z ) =
z(1− e −T ) (z − 1)(z − e −T )
a la transformada X(z) se le conoce como el equivalente discreto de X(s). El procedimiento seguido en el ejemplo anterior es muy común en el estudio de sistemas de control digital, por ello presentamos en la tabla 3.3 los pares de transformadas de funciones tanto continuas como discretas, y sus equivalentes en transformada de Laplace, cuando esto aplique. TABLA 3.3 Pares de la transformada Z de funciones comunes en el análisis de sistemas lineales discretos
X (s)
x (s) o x (k)
X (z)
1
1
δ (t )
1
2
e −nT s
δ (t − nT )
z −n
3
1 s
1(t ) o u(t )
z z −1
4
1 s2
t
Tz
( z − 1)2 (continúa)
69
70
Capítulo 3
Transformada Z
TABLA 3.3 Pares de la transformada Z de funciones comunes en el análisis de sistemas lineales discretos (continuación)
5
2 s3
6
(s + a)
7
1 s (s + a)
8
1
t2
T 2 z ( z + 1) 3 2 ( z − 1)
e −at
z z − e −aT
1− e
ω
s2 + ω 2
z sen ω T z 2 − 2z cos ωT + 1 z (z − cos ω T ) z − 2z cos ω T + 1
s s +ω 2
cos ω t
10
1 ( s + a )2
te −at
2
Tze −aT
(z − e )
−aT 2
e −at sen ω t
ze −aT sen ω T z 2 − 2ze −aT cos ω T + e −2aT
s+a ( s + a )2 + ω 2
e −at cos ω t
z 2 − ze −aT cos ω T z − 2ze −aT cos ω T + e −2aT
a2 s2 (s + a)
at − (1− exp(−at ))
⎤ ⎡ aTz z z + ⎥ ⎢ 2 − ⎣ ( z − 1) ( z − 1) z − exp(−aT ) ⎦
ω
11
(s + a) + ω
12
15
16
)
( z − 1)( z − e −aT )
sen ω t
9
2
(
a 1− e −aT z
−at
2
a2 + b2
2
s ⎡⎣( s + a ) + b 2 ⎤⎦ 2
1 exp( at ) = arctan
a b
cos (bt cos
2
)
z − z −1 1 ⎡ z 2 cos ϕ − z exp(−aT )cos (bt + ϕ ) ⎤ cos ϕ ⎢⎣ z 2 − 2z exp(−aT )cos bT + exp(−2aT ) ⎥⎦
17
δ (k)
1
18
δ (k − n)
z −n
19
1(k)
z z −1
20
k
( z − 1)2
z
(continúa)
Transformada Z de funciones elementales
3.3
TABLA 3.3 Pares de la transformada Z de funciones comunes en el análisis de sistemas lineales discretos (continuación)
21
k2
z ( z + 1) 3 2 ( z − 1)
22
ak
z z −a
23
sen ω k
z sen ω z − 2z cos ω + 1
24
cos ω k
z (z − cos ω ) z 2 − 2z cos ω + 1
25
r k sen ω k
r z sen ω z 2 − 2r z cos ω + r 2
26
r k cos ω k
z 2 − r z cos ω z − 2r z cos ω + r 2
27
⎛ k ⎞ k ( k − 1) ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 2! k ≥1
z ( z − 1)3
28
⎛ k ⎞ k ( k − 1) ( k − 2 ) ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 3! k≥2
29
⎛ k ⎞ k ( k − 1)( k − n + 1) ⎜⎝ n ⎟⎠ = n! k ≥ n −1
30
(k + 1)a k
31
( k + 1)( k + 2) a k 2!
2
2
z
( z − 1)4 z
( z − 1)n+1 z2 ( z a )2 z3 ( z − a )3
( k + 1)( k + 2)( k + n ) a k
z n+1 ( z − a )n+1
33
n! a k b n−k n − ( k ) !k !
(bz + a )n
34
ak k!
⎛ a⎞ exp ⎜ ⎟ ⎝ z⎠
32
n!
zn
71
72
Capítulo 3
Transformada Z
3.4 Propiedades de la transformada Z En la sección 3.2 establecimos que la transformada Z constituye un operador lineal, es decir, podemos aplicar el principio de superposición para el cálculo de transformadas de funciones. En esta sección discutiremos otras propiedades de la transformada Z, con las cuales tendremos más y mejores herramientas para analizar sistemas lineales discretos. Traslación real en adelanto
PROPIEDAD 2
Sea Z [ f (k, a )] = F (z, a), entonces: Z [ f (k + 1)] = zF (z ) − zf (0)
Z [ f (k + 2)] = z 2F (z ) − z 2 f (0) − zf (1)
En general:
Z [ f (k + n)] = z nF (z ) − z n f (0) −− zf (n − 1)
(3.14)
(3.15)
DEMOSTRACIÓN
Demostraremos la primera igualdad y le dejamos que realice las dos demostraciones restantes, siguiendo los pasos equivalentes. Por definición de la transformada Z, tenemos que: ∞
Z [ f (k + 1)] = ∑ f (k + 1)z −k
k=0
al hacer el cambio de variable, i = k + 1, tenemos: ∞
∞
i=1
i=1
Z [ f (k + 1)] = ∑ f (i)z −i+1 = z ∑ f (i)z −i = z ⎡⎣ f (0) − f (0) + f (1)z −1 + f (2)z −2 + f (3)z −3 ⎤⎦
= z ⎡⎣ f (0) + f (1)z −1 + f (2)z −2 + f (3)z −3 ⎤⎦ − zf (0) = zF (z ) − zf (0)
Como aplicación de esta propiedad, encontraremos los primeros pasos para la solución de una ecuación de recurrencia lineal homogénea, sujeta a condiciones iniciales. EJEMPLO 3.5
Encuentre una expresión para X(z) de la ecuación de diferencias: x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = 0
sujeta a las condiciones iniciales: x(0) = 0, x(1) = 1
SOLUCIÓN
Suponemos que la transformada Z de x(k), X(z), existe; entonces, aplicando la propiedad anterior:
Z [ x(k + 2)] = z 2 X (z ) − z 2 x(0) − zx(1) Z [ x(k + 1)] = zX (z ) − zx(0)
Al sustituir estas transformadas y las condiciones iniciales dadas, resulta que
(z
2
)
X (z ) z + 3zX (z ) + 2X (z ) = 0
3.4
Propiedades de la transformada Z
Por lo tanto, z z + 3z + 2
X (z ) =
2
Para encontrar una expresión de x(k) es necesario tratar el tema de la transformada Z inversa, el cual presentamos en la siguiente sección.
Traslación real en atraso
PROPIEDAD 2
Sea F (z ) = Z [ f (k)], entonces Z [ f (k − 1)] está dada por: Z [ f (k − 1)] = z −1 f (−1) + z −1F (z )
(3.16)
En general: Z [ f (k − n)] = f (−n) + f (−n + 1)z −1 ++ z −n+1 f (−1) + z −n F (z ) n−1
= ∑ f (i − n)z −i + z −n F (z )
(3.17)
i=0
En caso de que se trate de señales causales, f (k) = 0 si k < 0, el resultado general es Z [ f (t − n)] = z −n F (z )
(3.18)
DEMOSTRACIÓN
Al aplicar la definición de la transformada Z ∞
Z [ f (k − 1)] = ∑ f (k − 1)z −k
k=0
Al hacer el cambio de variable en la sumatoria de i = k − 1, se tiene que Z [ f (k 1)] =
i= 1
=z
1
f (i)z
=z
(i+1)
f ( 1) +
i=0
1 i= 1
f (i)z
f (i)z
i
i
= z 1 f ( 1) + z 1F (z ) En forma similar, se puede demostrar que: ∞
∞
i=−2
i=−2
Z [ f (k − 2)] = ∑ f (i)z −(i+2) = z −2 ∑ f (i)z −i ∞ ⎛ ⎞ = z −2 ⎜ z 2 f (−2) + zf (−1) + ∑ f (i)z −i ⎟ ⎝ ⎠ i=0
= f (−2) + z −1 f (−1) + z −2 F (z )
En general, cuando se tiene un retraso n, la transformada es
Z [ f (t − n)] = f (−n) + z −1 f (−n + 1) ++ z −n+1 f (−1) + z −n F (z ) n−1
= ∑ f (i − n)z i + z −n F (z ) i=0
En caso que f (k) = 0 para k < 0:
Z [ f (k − n)] = z −n F (z )
73
74
Capítulo 3
Transformada Z
EJEMPLO 3.6
Calcule las transformadas Z de las siguientes funciones: a) f (k) = 0.5k−1 , k ≥ 1. b) g(k − 3), donde g (k) está definida por k
0
1
2
3
g(k)
−1
−2
1
2
SOLUCIÓN
z a) Considerando que Z ⎡⎣0.5k ⎤⎦ = , tenemos que z − 0.5 1 ⎛ z ⎞ Z ⎡⎣0.5k−1 ⎤⎦ = z −1 ⎜ = ⎝ z − 0.5 ⎟⎠ z − 0.5
al aplicar la propiedad 3. b) La transformada de g (k) está dada por G(z ) = g(0) + g(1)z −1 + g(2)z −2 + g(3)z −3 = −1− 2z −1 + z −2 + 2z −3 −1z 3 − 2z 2 + z + 2 = z3
Por lo tanto, Z [ g(k − 3)] = −z −3 − 2z −4 + z −5 + 2z −6
=
−z 3 − 2z 2 + z + 2 z6
Teorema de valor inicial
PROPIEDAD 4
Si f (k) tiene transformada Z a F(z) y lím F (z ) existe, entonces z→∞
f (0) = lím F (z )
z
DEMOSTRACIÓN
Consideremos la definición de la transformada Z: ∞
F (z ) = ∑ f (k)z −k = f (0) + f (1)z −1 + f (2)z −2 +
k=0
al tomar límite cuando z tiende a ∞, encontramos el resultado pedido.
EJEMPLO 3.7
Si F (z ) =
3z 2 , calcule el valor inicial de f (k). z 2 + 1.2z + 0.8
(3.19)
3.4
Propiedades de la transformada Z
SOLUCIÓN
Al aplicar la propiedad 4:
f (0) = lím F (z ) = lím z
z
3z 2 =3 z 2 + 1.2z + 0.8
En el análisis de sistemas de control digital muy frecuentemente se necesita conocer el valor de una variable en estado estacionario; para ello, se usará la siguiente propiedad. Teorema del valor final
PROPIEDAD 5
Si f (k) tiene transformada Z a F(z), F(z) no tiene polos múltiples en z = 1 y, además, todos los polos están dentro del círculo unitario, entonces lím f (k) = lím f (t ) = lím (z − 1)F (z )
k→∞
t→∞
(3.20)
z→1
DEMOSTRACIÓN
Consideremos la suma parcial siguiente: Z [ f (k + 1) − f (k)] = zF (z ) − zf (0) − F (z ) = ( z − 1) F (z ) − zf (0)
n
= lím ∑ [ f (k + 1) − f (k)] z
−k
n→∞ k=0
Si tomamos el límite de esta expresión cuando z tiende a 1, siempre y cuando el límite exista, tenemos n
lím ( z − 1) F (z ) = f (0) + lím ∑ [ f (k + 1) − f (k)]
z→1
n→∞ k=0
Desarrollando la sumatoria, se llega a lím ( z 1) F (z ) = f (0) z
1
f (0) + lím f (n + 1)
= lím f (n)
n
n
Notemos que si F(z) contiene más de un polo en z = 1, este límite no converge y no se cumplen las condiciones de esta propiedad. En forma similar, se puede demostrar esta otra versión del teorema del valor final: lím f (k) = lím f (t ) = lím (1− z −1 )F (z )
k→∞
t→∞
(3.21)
z→1
siempre y cuando las hipótesis anteriores se cumplan. EJEMPLO 3.8
Un sistema dinámico se puede representar por medio de la ecuación de recurrencia: y(k + 2) − y(k + 1) + 0.16 y(k) = 1
Suponiendo que las condiciones iniciales de y(k) son cero, calcule el valor final de y(k). SOLUCIÓN
Tomamos la transformada Z a la ecuación de recurrencia y utilizamos la propiedad 2 de traslación real en adelanto y la transformada Z de la función escalón unitario y tenemos que:
75
76
Capítulo 3
Transformada Z
z 2Y (z ) zY (z ) + 0.16Y (z ) = z z 1
entonces: Y (z ) =
(
( z 1) z 2
z
z + 0.16
=
)
z
( z 1)( z 0.8)( z 0.2 )
Al aplicar el teorema del valor final:
( = lím (1
y( ) = lím 1 z
1
z
1
z
z
1 1
)Y (z ) = lím ( z 1)Y (z ) z = 6.25 ) ( z 1)( z 0.8 )( z 0.2 ) z
1
El algoritmo de control más usado en la industria es sin duda el controlador PID (ver capítulo 9), el cual se puede expresar como ⎛ 1 u(t ) = K c ⎜ e(t ) + Ti ⎝
∫
e dt +Td
de ⎞ dt ⎟⎠
(3.22)
Para el caso discreto, tanto la integral como la derivada del error deben sustituirse por operaciones equivalentes; éstas pueden ser la suma parcial de n términos y la diferencia hacia adelante de la señal de error (en capítulos subsecuentes veremos otras expresiones equivalentes para este controlador en su forma discreta). En seguida, presentamos las transformadas de estas operaciones discretas. Transformada de una suma de
PROPIEDAD 6
términos
Si Z [ f (k)] = F (z ) y además n
g(n) = ∑ f (i)
(3.23)
i=0
entonces la transformada Z de g (n) está dada por z G(z ) = F (z ) z −1
(3.24)
DEMOSTRACIÓN
Por definición, tenemos
⎛ n ⎞ G(z ) = Z ⎜ ∑ f (i)⎟ ⎝ i=0 ⎠
Ahora, consideremos la siguiente suma parcial: n−1
g(n − 1) = ∑ f (i) i=0
y definamos
f (n) = g(n) − g(n − 1) = ∇g(n)
Al aplicar la transformada Z a f (n), se tiene que F (z ) = Z [ f (n)] = Z [ g(n)] Z [ g(n 1)]
= Z [ g(n)]
= G(z ) z 1G(z ) z 1 = G(z ) z
3.4
Propiedades de la transformada Z
Por lo tanto, G(z ) =
z F (z ) z −1
EJEMPLO 3.9
Una manera de expresar a una función rampa con pendiente m es por medio de una sumatoria de la señal escalón unitario, así: k
r(k) = m 1(i 1) = m [1( 1) + 1(1) + 1(2) +
+1(k)] = mk
i=0
Calcule la transformada Z de esta rampa, usando la propiedad 6. SOLUCIÓN
k
En este caso, f (k) = 1(k − 1), es decir, es un escalón retrasado un instante de tiempo, y g(k) = mf (k). i=0 La transformada de f (k) es, al aplicar la propiedad 3, con f ( 1) = 0: F (z ) = z −1Z [1(k)] =
1 z −1
entonces, al aplicar la propiedad 6: G(z ) =
z mz F (z ) = z −1 ( z − 1)2
En análisis numérico es necesario aproximar el cálculo de la derivada de una función; para ello, presentamos dos formas de aproximar esta derivada; en el primer caso, tenemos el método de Euler y en el segundo, el método de Euler hacia atrás. PROPIEDAD 7
Transformada de diferencias hacia adelante
Sea F (z ) = Z [ f (k)]; así, si Δf (k) = f (k + 1) − f (k), entonces su transformada está dada por Z [ Δf (k)] = (z − 1)F (z ) − zf (0)
(3.25)
DEMOSTRACIÓN
Al aplicar la propiedad 2 de traslación real en adelanto: Z [ f (k)] = Z [ f (k + 1)] Z [ f (k)] = zF (z ) zf (0) F (z ) = (z 1)F (z ) zf (0)
PROPIEDAD 8
Transformada de diferencias hacia atrás
Sea F (z ) = Z [ f (k)]; así, si f (k) = f (k)
f (k 1), entonces su transformada está dada por:
Z [ ∇f (k)] =
(z − 1) F (z ) z
(3.26)
77
78
Capítulo 3
Transformada Z DEMOSTRACIÓN
Al aplicar la propiedad 3 de traslación real en atraso: Z [ f (k)] = Z [ f (k)] Z [ f (k 1)] = F (z ) z 1F (z ) (z 1) = F (z ) z
EJEMPLO 3.10
Consideremos el caso de f (t ) = 5t . Utilice las propiedades 7 y 8, calcule la transformada Z de la aproximación a la derivada y compárela con la transformada de la derivada de esta función. SOLUCIÓN
Por un lado, tenemos que f ′(t ) = 5 = g(t ), por lo que G(z ) = que F (z ) =
5T z . ( z − 1)2
5z ; también sabemos z −1
a) Diferencias hacia adelante. A partir de la definición de límite de la derivada de una función, podemos hacer la siguiente aproximación: f ′(t ) = g(t ) ≅
f ( kT +T ) − f (kT ) Δf (kT ) = T T
Al aplicar la propiedad 7: G(z ) = ( z − 1) F (z ) − zf (0) =
5T z 5z = T ( z − 1) ( z − 1)
b) Diferencias hacia atrás. En este caso, podemos hacer la siguiente aproximación: f ′(t ) = g(t ) ≅
f ( kT ) − f (kT −T ) ∇f (kT ) = T T
Al aplicar la propiedad 8: G(z ) =
( z − 1) z
F (z ) =
5T 5 = T ( z − 1) ( z − 1)
En el caso del inciso a), la aproximación coincide con la transformada Z de la función original; en el caso del inciso b), aparece un retraso de un instante.
Ahora veremos dos propiedades que, por su estructura, son las versiones equivalentes en transformada de Laplace cuando una función está multiplicada o dividida por el tiempo. Estas propiedades son multiplicación y división por k.
PROPIEDAD 9
Multiplicación por
Sea F (z ) = Z [ f (k)], entonces la transformada de k f (k) está dada por
3.4
Z [ kf (k)] = −z
Propiedades de la transformada Z
d [ F (z )] dz
(3.27)
DEMOSTRACIÓN
Al tomar la definición de la transformada Z, tenemos que ∞
Z [ kf (k)] = ∑ kf (k)z −k
k=0
Recordemos la derivada de una potencia,
d n x = nx n−1, vemos que hay una semejanza con la dx
expresión anterior si hacemos la siguiente manipulación algebraica:
∞
∞
k=0
k=0
(
∞
)
(
Z [ kf (k)] = ∑ kf (k)z −k = ∑ f (k) kz −k−1 z = −z ∑ f (k) −kz −k−1 k=0
Esta última expresión puede entonces agruparse así: ∞
Z [ kf (k)] = −z ∑ f (k) k=0
( )
d −k z dz
d = −z [ F (z )] dz
EJEMPLO 3.11
Calcule la transformada de f (k) = ka k , usando la propiedad anterior. SOLUCIÓN
Al tomar a g(k) = a k : ∞
F (z ) = ∑ ka k z −k k=0
d z ⎤ d d Z [ g(k)] = −z Z ⎡⎣ a k ⎤⎦ = −z ⎡⎢ dz ⎣ z − a ⎥⎦ dz dz az = ( z − a )2
= −z
EJEMPLO 3.12
( )
Si f (k) = k 2 a k = k ka k , calcule su trasformada usando la propiedad anterior. SOLUCIÓN
Si definimos a g(k) = a k , entonces f (k) = k 2 g(k) d ⎡ d d ⎤ Z ⎡⎣ka k ⎤⎦ = −z ⎢ −z Z ⎡⎣ a k ⎤⎦ ⎥ dz ⎣ dz dz ⎦ d ⎡ az ⎤ az ( z + a ) = −z ⎢ ⎥= dz ⎣ ( z − a )2 ⎦ ( z − a )3
F (z ) = −z
al aplicar la propiedad 9 dos veces.
)
79
80
Capítulo 3
Transformada Z
EJEMPLO 3.13
Si f (t ) = t 2, calcule su trasformada usando la propiedad 9. SOLUCIÓN
Considerando una función g (t) como g (t) = t, entonces si aplicamos la propiedad 9: Z ⎡⎣t 2 ⎤⎦ = Z ⎡⎣k 2T 2 ⎤⎦ = T 2 Z [ k(k)] = −zT 2
=
d d ⎡ z ⎤ Z [ k ] = −zT 2 ⎢ ⎥ dz dz ⎣ ( z − 1)2 ⎦
T 2 z ( z + 1) ( z − 1)3
División entre
PROPIEDAD 10
Si F (z ) = Z [ f (k)], entonces ∞ f (k) F (z ) ⎡ f (k) ⎤ Z⎢ dz − lím = ∫ ⎥ k→∞ k ⎣ k ⎦ z z
(3.28)
DEMOSTRACIÓN
Al aplicar la definición de la transformada Z, entonces ∞
∫ z
F (z ) dz = z
∞
∞
∫ ∑ f (k)z z
−k−1
dz =
∞
∑ f (k) ∫ z −k−1 dz
k=0
k=0
∞
z
∞ ⎡ z −k ∞ ⎤ ∞ f (k) f (k) −k ⎥= ∑ = ∑ f (k) ⎢ z −k − lím ∑ z z→∞ k=0 k k=0 ⎢⎣ −k z ⎥⎦ k=0 k f (k) ⎡ f (k) ⎤ =Z⎢ − lím ⎥ k→∞ k ⎣ k ⎦ ∞
Se puede generalizar el resultado anterior, con base en la teoría de variable compleja (Churchill y Brown, 1988) y resulta ⎡ f (k) ⎤ Z⎢ n ⎥= ⎣ k ⎦
∞
∞
∞
∫∫ ∫
z
z z n veces
siempre que las integrales existan. EJEMPLO 3.14
1 Si f (k) = , k > 0, calcule su transformada. k SOLUCIÓN
Si consideramos que g(k) = 1(k − 1), entonces:
F (z ) dz, k > 0 z
3.4
G(z ) = z −1Z [1(k)] =
usando la propiedad 3 anterior. Ahora, f (k) = ⎡ g(k) ⎤ ⎡ 1(k − 1) ⎤ Z⎢ =Z⎢ = ⎥ k ⎣ ⎦ ⎣ k ⎥⎦
1 z −1
g(k) , por lo que si aplicamos la propiedad 9: k
∞
∫z
Propiedades de la transformada Z
∞
−1
G(z )dz =
z
dz
⎛ z ⎞
∫ z ( z − 1) = ln ⎜⎝ z − 1⎟⎠ z
La siguiente propiedad tiene que ver con el cambio de escala en el plano Z, llamada traslación compleja, como efecto de multiplicar a una señal discreta por una función exponencial. Traslación compleja
PROPIEDAD 11
Si F (z ) = Z [ f (k)], entonces ⎛ z⎞ Z ⎡⎣ a k f (k)⎤⎦ = F ⎜ ⎟ ⎝ a⎠
(3.29)
DEMOSTRACIÓN
Al aplicar la definición de la transformada Z: Z a k f (k) =
k=0
a k f (k)z
k
= k=0
z =F a
f (k)
z a
k
EJEMPLO 3.15
Utilice la propiedad 10, obtenga la transformada de y(k) = 0.3k cos 0.45k. SOLUCIÓN
En la sección 2 calculamos la transformada Z de la función coseno: z ( z − cos ω ) z − 2z cos ω + 1 Así, al aplicar la propiedad de traslación compleja:
Z [ cos ω k ] =
Z [ cos0.45k ] =
2
z ( z − cos0.45) z ( z − 0.9 ) = 2 z − 2z cos0.45 + 1 z − 1.8z + 1 2
Entonces: Z ⎡⎣0.3k cos0.45k ⎤⎦ =
⎞ ⎛ z ⎞ ⎛⎛ z ⎞ ⎜⎝ ⎟ ⎜ ⎟ − 0.9⎟⎠ 0.3 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 0.3 ⎠ 2
⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ − 1.8 ⎜⎝ ⎟ +1 0.3 ⎠ 0.3 z ( z − 0.27 ) = 2 z − 0.54z + 0.09
Esta transformada coincide con la aplicación de la transformada de la función 26 en la tabla 3.3.
81
82
Capítulo 3
Transformada Z
PROPIEDAD 12
Teorema de la diferenciación parcial
Si f (k, a) es una función discreta que depende del tiempo discreto k y de un parámetro a en forma continua, entonces si Z [ f (k, a )] = F (z, a), tenemos:
f (k, a) = [ F (z, a)] a a
Z
(3.30)
DEMOSTRACIÓN
Al aplicar la definición de la transformada Z:
∂ ⎡ ∂ f (k, a) ⎤ ∞ ∂ f (k, a) −k ∂ ∞ =∑ Z⎢ z = ∑ f (k, a)z −k = [ F (z, a)] ⎥ ∂a k=0 ∂a ⎣ ∂a ⎦ k=0 ∂a
EJEMPLO 3.16
Calcule la transformada Z de f (k) = ka k−1 . SOLUCIÓN
∂ Si tomamos como g(k) = a k, podemos ver que g(k) = f (k), por lo que es posible aplicar la ∂a z propiedad anterior sabiendo que G(z ) = : z −a z ∂ ⎡ z ⎤ = F (z ) = ⎥ ⎢ ∂a ⎣ z − a ⎦ ( z − a )2
Una de las propiedades más importantes en el análisis de sistemas lineales discretos es la suma de convolución, como se mencionó y estudió en el capítulo anterior. A continuación, demostramos la transformada Z de esta suma, la cual se empleará constantemente a lo largo de los siguientes capítulos. PROPIEDAD 13
Suma de convolución
Si F (z ) = Z [ f (k)] y G(z ) = Z [ g(k)], y k
k
i=0
i=0
y(k) = ∑ f ( k − i ) g(i) = ∑ g ( k − i ) f (i)
se le conoce como suma de convolución. Si f (k) = g(k) = 0, k
k
i=0
i=0
k < 0 en general:
y(k) = ∑ f ( k − i ) g(i) = ∑ g ( k − i ) f (i)
(3.31)
(3.32)
La transformada Z de esta suma está dada por
Y (z ) = Z [ f (k)∗ g(k)] = Z [ g(k) ∗ f (k)] = F (z )G(z ) DEMOSTRACIÓN
Al aplicar la definición de la transformada Z a la suma de convolución resulta lo siguiente:
(3.33)
3.4
Z [ y(k)] =
k=0 i=0
= i=0
f ( k i ) g(i) z
g(i) Z [ f ( k i )] =
k
=
g(i)
i=0
i=0
k=0
Propiedades de la transformada Z
f (k i ) z
k
g(i)z i F (z )
= F (z ) Z [ g(i)] = F (z )G(z ) Por lo tanto, Z [ f (k)∗ g(k)] = F (z )G(z )
EJEMPLO 3.17
Compruebe la propiedad 12 de suma de convolución y(k) = g(k)∗ f (k), para las funciones g(k) = 0.2k y f (k) = 1(k). SOLUCIÓN
Al aplicar la definición de suma de convolución: k
k
i=0
i=0
y(k) = g(k) * f (k) = ∑ g(i) f (k − i) = ∑ 0.2i =
1− 0.2k+1 0.8
Al calcular Y(z), tenemos por un lado que Z [1.25] =
1.25z z −1
Z ⎡⎣0.2k+1 ⎤⎦ = 0.2Z ⎡⎣0.2k ⎤⎦ =
0.2z z − 0.2
Por lo tanto, 0.2z ⎞ z2 ⎛ z Y (z ) = 1.25 ⎜ − = ⎝ z − 1 z − 0.2 ⎟⎠ ( z − 1)( z − 0.2 )
con lo cual se verifica la propiedad 13. En la tabla 3.4 presentamos un compendio de las principales propiedades de la transformada Z. TABLA 3.4 Propiedades principales de la transformada
Propiedades de la transformada Z x(t) o x(k)
Z [ x(t)] o Z [ x(k)]
1
ax(t )
aX(z)
2
Ax1(t ) + Bx 2 (t )
AX 1(z ) + BX 2 (z )
3
x(t +T ) o x(k + 1)
z X (z ) zx(0)
4
x(t + 2T )
z 2 X (z ) z 2 x(0) zx(T )
5
x(k + 2)
z 2 X (z ) z 2 x(0) z x(1)
6
x(t + nT )
z n X (z )− z n x(0)− z n−1x(T )−− zx(nT −T ) (continúa)
83
84
Capítulo 3
Transformada Z
TABLA 3.4 Propiedades principales de la transformada (continuación)
7
x(k + m)
8
tx(t )
−Tz
9
kx(k)
−z
10
e −at x(t)
X (ze aT )
11
e −ak x(k)
X ze a
12
a k x(k)
⎛ z⎞ X⎜ ⎟ ⎝ a⎠
z m X (z ) z m x(0) z m 1x(1)
x(0)
15
x(∞)
d [ X ( z )] dz
z a
d X
ka x(k)
14
d [ X (z )] dz
( )
k
13
zx(m 1)
z
dz lím X (z )
z→∞
(
)
lím 1− z −1 X (z ) z→1
y X(z) no tenga polos múltiples en z = 1 ∞
∑ x (k )
X (1)
∑ x (iT ) y ( kT − iT )
X ( z )Y ( z )
16 17 18
k=0 k
i=0
k
∑ x (i ) y ( k − i )
X ( z )Y ( z )
i=0
∞
F (z )
f (k)
19
f (k) , k >0 k
20
∂ f (k,a) ∂a
∂ [ F (z,a)] ∂a
21
Δf (k)
( z − 1) F (z ) − zf (0)
22
∇f (k)
z −1 F (z ) z
23 24
f (k) =
1 k−1 ∫ F (z )z dz 2π j C f (k)g(k)
lím ∫ z dz − k→∞ k z
F (z ) 1 ⎛ z ⎞ dx ∫ G(x)F ⎜⎝ x ⎟⎠ x 2π j C
3.5 Transformada Z inversa El problema que se va a tratar consiste en que dada una transformada Z F(z), es encontrar una función f (k) de tal manera que Z [ f (k)] = F (z ). Se van a presentar cinco métodos para realizar este proceso, el cual se va a llamar transformación Z inversa.
3.5
Transformada Z inversa
3.5.1 Método 1. División larga Recuerde la definición de la transformada Z. Se tiene que ∞
F (z ) = ∑ f (k)z −k = f (0) + f (1)z −1 ++ f (n)z −n +
(3.34)
k=0
Este método consiste en expandir a F(z) en una serie infinita de potencias negativas de z y asociar el coeficiente de cada término i-ésimo de la expansión con el correspondiente valor de f (i). De esta manera se obtiene la sucesión buscada, aunque no se encuentra una forma cerrada para f (k). Esta expansión se conoce como serie de Laurent de F(z). EJEMPLO 3.18
Si consideramos la ecuación de Fibonacci, vista en el capítulo anterior, y(k + 2) = y(k + 1) + y(k) y(0) = 1, y(1) = 1
Encuentre una expresión para y(k), aplicando la transformada Z y su inversa, utilizando el método de división larga. SOLUCIÓN
Primero obtenemos la transformada Z de la recursión, aplicando las propiedades vistas en la sección anterior a cada elemento de ésta como sigue:
z 2Y (z ) − z 2 y(0) − zy(1) = Y (z ) − zy(0) +Y (z )
al factorizar a Y(z): z 2 y(0) − z[ y(1) − y(0)] z2 = 2 2 z − z −1 z − z −1 Al expresar Y(z) en potencias negativas de z, resulta:
Y (z ) =
1
Y (z ) =
1 z 1 z 2 1 2 3 4 5 ... = 1+ z + 2z + 3z + 5z + 8z + Al comparar los coeficientes de esta expansión con la definición de la transformada Z de y(k):
Y (z ) = 1+ z 1 + z 2 + 3z 3 + 5z 4 + 8z 5 + ... = y(0) + y(1)z 1 + y(2)z 2 + y(3)z 3 + y(4)z
En forma tabular, los primeros 6 términos son TABLA 3.5 Respuesta de la ecuación de Fibonacci
k
y(k)
0
1
1
1
2
2
3
3
4
5
5
8
4
+ ...
85
86
Capítulo 3
Transformada Z
3.5.2 Método 2. Ecuación de recurrencia Otra forma de encontrar la transformada Z inversa de una función F(z) expresada como un cociente de polinomios en z: F (z ) =
B(z ) b0 z m + b1z m−1 + b2 z m−2 ++ bm−1z + bm = n z + a1z n−1 + a2 z n−2 ++ an−1z + an A(z )
(3.35)
es con la ayuda de Matlab o con la calculadora Voyage 200. El procedimiento lo ilustramos en el siguiente ejemplo para las dos herramientas. EJEMPLO 3.19
Calcule la transformada Z inversa, en forma tabular, de la siguiente función: 2z z − 1.2z + 0.8 utilizando Matlab o la calculadora Voyage 200. G(z ) =
2
SOLUCIÓN
Para poder utilizar el programa Matlab es necesario plantear el problema como un cociente de polinomios al cual se le aplica una entrada impulso unitario. En la figura 3.6 mostramos el código usado para obtener g (k). % Ejemplo 3.19. % Respuesta de una función de transferencia, a una entrada impulso % % Y(z) = G(z) U(z) = G(z) % % donde usamos la Transformada Z del impulso que es la unidad. % G(z) está dada como cociente de polinomios en la variable z % % G(z) = B(z) / A(z) %-------------------------------------------------------------------------------------------% Definición de coeficientes de B(z) b=[2 0]; % Definición de coeficientes de A(z) a=[1 –1.2 .8]; % Definición de la entrada como un impulso, usando la función zeros, % iniciando en cero el impulso unitario y llegando a 40 instantes de tiempo impulso=[1 zeros(1,40)]; % cálculo de la respuesta del sistema a una entrada impulso y=filter(b,a,impulso); % Definición de la escala de tiempo discreto para graficación k=0:length(impulso)–1; % Graficación de la respuesta plot(k,y,'*'); Title('Respuesta a un impulso unitario') Xlabel('k, instantes') Ylabel('y(k)') grid Figura 3.6 Listado de archivo de Matlab para calcular la respuesta al impulso de un sistema discreto.
3.5
Transformada Z inversa
En la figura 3.7 mostramos en forma gráfica a g(k).
Figura 3.7 Respuesta en tiempo a una entrada impulso, usando Matlab.
Para el caso de la Voyage 200, presentamos su listado y la gráfica de y(k); debido a la manera de manejar los arreglos en la calculadora, las condiciones iniciales se toman en los instantes 1 y 2, por ello aparece la curva desfasada con respecto a la mostrada en la figura 3.7, vea la tabla 3.6. TABLA 3.6 Listado de Voyage 200 para el ejemplo 3.19 y la gráfica de salida
:ej0318() :Prgm :© ejemplo 3.19 :DelVar y,k :NewProb :© condiciones iniciales :0→y[1] :0→y[2] :1→k[1] :2→k[2] :3→k[3]
:© inserción del impulso :© por la ganancia 2 :2→y[3] :For i,4,40 : i→k[i] : –.8*y[i–2]+1.2*y[i–1]→y[i] :EndFor :© graficación :PlotsOff :NewPlot 1,1,k,y,,,,4 :ZoomData :EndPrgm
87
88
Capítulo 3
Transformada Z
3.5.3 Método 3. Uso de tablas Este método consiste en determinar la transformada Z, F(z), por medio de las aplicaciones de las propiedades vistas en la sección 3.4 a una forma que aparezca en las tablas y de ahí obtener la función f (k). Mediante ejemplos, ilustraremos la aplicación de este método. EJEMPLO 3.20
Calcule las transformadas Z inversas de las siguientes funciones: 5z ( z − 0.7 )2 2z b) F (z ) = 2 z − 0.8z + 0.36 1 c) F (z ) = ln ⎛⎜ 1− z −1 ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠ a) F (z ) =
SOLUCIÓN
CASO
)
Sabemos que Z [ Ak ] = Z ⎡⎣ Aka k ⎤⎦ = CASO
Az . Si usamos la propiedad 12 de la tabla 3.4, tenemos que ( z − 1)2
Aaz 25 k k ( 0.7 ) . 2 , así que a = 0.7 y Aa = 5, por lo que, f (k) = 4 (z − a) )
De la tabla 3.3, la transformada 25 tiene la misma estructura que en este caso, por lo que identificamos los coeficientes de ambos denominadores: z 2 − 0.8z + 0.36 = z 2 − 2rz cos ω + r 2
De esta igualdad tenemos que r = 0.6 y cos ω = 0.6667, de donde senω = 0.6667 y ω = 0.841; así que Z ⎡⎣ A ( 0.6 )k sen 0.841k ⎤⎦ = CASO
0.4472Az , y si A = 4.4723, se obtiene la función pedida. z 2 − 0.8z + 0.36
)
Sabemos, a partir del estudio del cálculo integral, que un logaritmo natural resulta de integrar du una función del tipo ; por otro lado, la propiedad 19 de la tabla 3.4, establece la aplicación de u 1 una integral a una transformada. Si establecemos que g(k) = a k−1, entonces G(z ) = , así que z −a ∞ ∞ ⎡ a k−1 ⎤ G(x) 1 1 ⎛ z −a⎞ Z⎢ dx = dx = − ln ⎜ ⎟ ⎥= x x(x − a) a ⎝ z ⎠ ⎣ k ⎦
∫
∫
z
⎛ 1⎞ 1 1 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ Si a = , entonces f (k) = − 3 3 k
z
k−1
.
3.5
Transformada Z inversa
3.5.4 Método 4. Expansión en fracciones parciales Sea F(z) expresada como un cociente de polinomios en z: F (z ) =
P(z ) Q (z )
(3.36)
donde el orden de P es menor o igual al de Q. Entonces se puede expandir F(z) en fracciones parciales, al identificar a cada una de éstas con una transformada Z elemental e invertir cada fracción en términos de funciones elementales. Sea F(z) una transformada Z de la función f (k). Para encontrar esta función se procede de la siguiente manera: a) Suponga que P(z ) Q (z ) zP1(z ) = Q (z )
F (z ) =
(3.37)
esto se debe a que en muchos casos se presentan transformadas Z de las funciones más comunes y presentan un factor z en el numerador (al final de esta sección resolveremos un ejemplo donde esta factorización no se da).
b) Divida a F(z) entre z: F (z ) P1(z ) = z Q (z )
c) Expanda en fracciones parciales
F (z ) ; factorizando, de manera que z
Q(z ) = z n + q1z n−1 + q 2 z n−2 ++ qn
(3.38)
= ( z − α 1 ) ( z − α 2 ) ( z − α 3 )( z − α n )
(3.39)
donde ai son las raíces del polinomio Q(z).
d ) Obtenga las fracciones parciales, dependiendo de los siguientes casos: d.1) Raíces diferentes y reales, α i ≠ α j ,∀i, j. En este caso, se tiene F (z ) P1(z ) K1 K2 Kn = = + ++ z − αn z Q(z ) z − α 1 z − α 2
(3.40)
d.2) Para el caso de tener una raíz α j repetida r j veces, las fracciones asociadas a cada una de ellas tienen la forma siguiente: Kj
+
K j−1
(z − α ) (z − α )
rj
j
r j −1
+
j
K j−2
(z − α )
r j −2
++
j
K2
+
K1
(z − α ) (z − α ) 2
j
(3.41)
j
d.3) Para el caso de tener una raíz compleja α j y su conjugada α j , se considera la siguiente fracción asociada: Cz + D z + az + b
2
( )
donde a = −2Re α j y b = α j
2
(3.42)
89
90
Capítulo 3
Transformada Z
d.4) Para el caso de tener una raíz compleja α j y su conjugada α j , repetida r j veces, entonces
(z
C jz + Dj 2
+ az + b
)
rj
+
C j−1z + D j−1
(z
2
)
+
C j−2 z + D j−2
r j −2 + + az + b C z + D1 C z + D2 + 21 + 2 2 2 z + az + b z + az + b
+ az + b
r j −1
(z
2
(
)
) (
(3.43)
)
e ) Una vez que los coeficientes de cada fracción se determinan, multiplique a cada uno de ellos por z: F (z ) = z
P1(z ) = z ( fracciones parciales de los incisos anteriores ) Q(z )
f ) Por medio de las tablas de transformadas Z, obtenga la transformada inversa de cada fracción y súmelas para obtener f (k). EJEMPLO 3.21
Encuentre la solución de la sucesión de Fibonacci, utilizando el método de fracciones parciales. SOLUCIÓN
Retomemos del ejemplo 3.18 anterior Y (z ) =
z2 z2 − z −1
PASO 1
Encontramos los polos de Y (z). En este caso, los polos son: z=
1± 5 2
PASO 2
Expresión del polinomio A(z) en sus factores: ⎛ 1− 5 ⎞ 1+ 5 ⎞ ⎛ z− Q(z ) = z 2 − z − 1 = ⎜ z − ⎟ ⎜ 2 ⎠⎝ 2 ⎟⎠ ⎝
Entonces definimos a=
1+ 5 = 1.618 2
1− 5 b= = −0.618 2 para simplicidad de la notación, y escribimos Q (z ) = (z − a)(z − b)
PASO 3
Formación de las fracciones parciales de parciales son
Y (z ) . Como hay dos polos reales distintos, las fracciones z
Y (z ) A B z = + = 2 z z − a z − b z − z −1
3.5
Transformada Z inversa
Cálculo de los coeficientes de las fracciones parciales.4 De la expresión anterior obtenemos que z = A(z − b) + B(z − a) = z( A + B) − Ab − Ba
Al igualar los coeficientes de ambos lados de estos polinomios: A + B = 1 y Ab + aB = 0
Se puede determinar el valor de A y B de las dos ecuaciones anteriores, o bien, de forma alterna, podemos calcular los coeficientes dando valores a z. En particular damos a z los valores “a” y “b”. Si z = a, entonces a = A( a − b ) y A=
a 1+ 5 = = 0.724 a −b 2 5
Si z = b, entonces b = B (b − a ) y B=
b 1− 5 =− = 0.276 b−a 2 5
Por lo tanto, Y (z ) 0.724 0.276 = + z z − 1.618 z + 0.618 0.724z 0.276z Y (z ) = + z − 1.618 z + 0.618 Para obtener la transformación inversa de cada fracción de Y (z), comparamos cada fracción con la transformada Z de funciones elementales (vea la tabla 3.1); por lo tanto, considerando que z , entonces Z[a k ] = z −a y(k) = 0.724(1.618)k + 0.276(−0.618)k
la cual es la solución encontrada en el capítulo 2.
EJEMPLO 3.22
Calcule la transformada Z inversa de la función G(z ) =
1 (z − 0.5)(z − 0.3)
SOLUCIÓN
Para encontrar la función g (k) se procede con dos métodos. a) Método 1. Descomposición en fracciones parciales directamente de G(z). 1 (z − 0.5)(z − 0.3) 5 5 = − z − 0.5 z − 0.3
G(z ) =
4
También se puede utilizar el teorema del residuo para calcular las fracciones parciales (Churchill, 1988).
91
92
Capítulo 3
F (z ) = z 1Z a k
Transformada Z
z Sabemos que Z ⎡⎣ a k ⎤⎦ = . A cada fracción le falta una variable z para que se emplee esta exz −a ⎧ 0 1 k <1 presión; para resolver esto proponemos que f (k) = ⎨ k−1 . Entonces F (z ) = z 1Z a k = ; k ≥ 1 a z a ⎩ 1 = ; por lo tanto, z a g(k) = 5 0.5k−1 − 0.3k−1
(
)
k
g (k)
0 1 2 3 4 5 :
0 0 1 0.8 0.49 0.272 :
b) Método 2. Para expandir en fracciones parciales se divide entre z y se aplica el procedimiento explicado anteriormente; para ello: z G(z ) = z(z − 0.5)(z − 0.3) G(z ) 1 = z z(z − 0.5)(z − 0.3) Las fracciones parciales de esta función son ahora: G(z ) 1 = z z(z − 0.5)(z − 0.3) 6.6667 10 16.6667 = + − z z − 0.5 z − 0.3
por lo que
G(z ) = 6.6667 +
10z 16.6667z − z − 0.5 z − 0.3
Al obtener la transformada Z inversa de cada término, se llega a:
g(k) = 6.6667δ (k) + 10 ( 0.5) − 16.6667 ( 0.3) , k ≥ 0 k
k
En forma tabular, tenemos que:
k 0 1 2 3 4 5
g2(k) g (k) 0 0 1 0.8 0.49 0.272
3.5
Transformada Z inversa
Al comparar ambas tablas de valores, vemos que el resultado es el mismo, aun cuando la regla de correspondencia sea diferente, pues la definición del intervalo de cada función es distinta.
EJEMPLO 3.23
Cálculo de fracciones parciales con Matlab y Voyage 200. Calcule las fracciones parciales de las siguientes funciones, usando Matlab y Voyage 200: z +4 z − 0.9z + 0.2 b) Y (z ) = 2 ( z − 0.5) z − 0.8z + 0.6 z 2 − 0.2z + 1 c) Y (z ) = z 3 − 0.3z 2 + 0.4z − 0.7 a) G(z ) =
2
(
)
SOLUCIÓN
Para usar Matlab como ayuda en el cálculo de las fracciones parciales usaremos la instrucción residue; en el caso de la calculadora Voyage 200 utilizamos la instrucción expand. a) Mediante la instrucción de Matlab, [R,P,K] = residue([1 4], [1 −0.9 0.2]), obtenemos el resultado: Residuos
Polos
45.0000, –44.000
0.5000, 0.4000
Por lo tanto,
G(z ) =
z +4 45 44 = − z 2 − 0.9z + 0.2 z − 0.5 z − 0.4
Usando la calculadora Voyage 200, obtenemos el siguiente resultado mostrado en la figura 3.8:
Figura 3.8 Expansión en fracciones parciales con la calculadora Voyage 200.
a) Al aplicar la misma instrucción de Matlab, [R,P,K] = residue([1 −5], [1 −0.8 0.6]),
93
94
Capítulo 3
Transformada Z
obtenemos el resultado: Residuos
Polos
0.5000 + 3.4674j 0.5000 − 3.4674 j
0.4000 + 0.6633 j 0.4000 − 0.6633 j
por lo que:
Y (z ) =
0.5 + 3.467 j 0.5 − 3.467 j ( z − 0.5) = + z 2 − 0.8z + 0.6 z − ( 0.4 + 0.6633 j ) z − ( 0.4 − 0.6633 j )
Usando la calculadora Voyage 200, encontramos el siguiente resultado (presentado en dos pantallas por cuestiones de formato de la calculadora) en la figura 3.9:
Figura 3.9 Expansión en fracciones parciales con la calculadora Voyage 200.
c) Al aplicar la misma instrucción de Matlab, [R,P,K] = residue([1 −0.2 1], [1 −0.3 0.4 −0.7]), obtenemos el resultado: Residuos
Polos
0.1139 + 0.2741 j 0.1139 − 0.2741 j 0.7721
−0.2657 + 0.8782 j −0.2657 − 0.8782 j 0.8315
3.5.5 Método 5. Integral de inversión A partir de la definición de la transformada Z de la función f (k): ∞
F (z ) = ∑ f (k)z −k
(3.44)
k=0
multiplicamos ambos lados de la ecuación por z i–1 e integrando sobre una trayectoria cerrada C que abarque todos los puntos críticos de F(z), tenemos:
∫
C
F (z )z i−1 dz = =
∫
∞
∑ f (k)z −k+i+1dz
C k=0 ∞
∑ f (k) ∫
k=0
C
z
−k+i+1
dz
(3.45)
3.5
Transformada Z inversa
Por el teorema de Cauchy (Churchill, 1988):
∫ z
−k+i+1
C
⎧ 2π j, si k = i ⎪ dz = ⎨ ⎪⎩ 0, si k ≠ i
(3.46)
Por lo tanto,
∫ F (z )z
i−1
C
dz = ( 2π j ) f (i)
(3.47)
Así, podemos obtener la función f (i) con esta integral, que es el método de la integral de inversión. La manera de calcular esta integral es por medio de la aplicación del teorema de Cauchy y, para ello, supondremos que la transformada F (z) tiene n polos { z1 ,z 2 ,…,z n } dentro de la región acotada por trayectoria cerrada C, entonces
∫ F (z )z dz = 2π j ( R + R ++ R ) ⎡ ⎤ = 2π j ⎢∑ ( residuos de F (z )z en z = z ) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ k−1
1
C
2
n
n
k−1
(3.48)
i
i=1
donde Ri es el residuo en el polo zi de la función F (z )z i−1, el cual se calcula como sigue: a) El polo zi es un polo simple, entonces Ri = lím ( z − zi ) F (z )z k−1
(3.49)
z→zi
b) El polo zi tiene multiplicidad r, entonces: Ri =
d r −1 1 r lím r −1 ⎡( z − zi ) F (z )z k−1 ⎤ ⎣ ⎦ (r − 1) ! z→zi dz
(3.50)
EJEMPLO 3.24
Calcule la transformada Z inversa por medio de la integral de inversión de la función: z F (z ) = ( z − 1)( z − 0.8) SOLUCIÓN
La función F(z) tiene dos polos simples, por lo que tendremos dos residuos y la función f (k) será f (k) = R1 + R2 R1 = lím ( z − 1)
z→1
zk =5 ( z − 1)( z − 0.8)
R2 = lím ( z − 0.8) z→0.8
(
zk k = −5( 0.8) ( z − 1)( z − 0.8)
)
Por lo tanto, tenemos que f (k) = 5 1− ( 0.8) .
PROPIEDAD 3.14
k
Producto de dos funciones discretas
Si F (z ) = Z [ f (k)], G(z ) = Z [ g(k)] y h(k) = f (k)g(k), entonces:
95
96
Capítulo 3
Transformada Z
1
⎛ z ⎞ dx G(x)F ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ x 2π j C
H (z ) = Z [ h(k)] =
∫
(3.51)
DEMOSTRACIÓN
Al usar la definición de la transformada Z: ∞
H (z ) = ∑ f (k)g(k)z −k
k=0
Al aplicar la relación de la transformada Z inversa a g (k): g(k) =
1
∫ G(z )z 2π j
k
C
dz z
Por lo tanto, H (z ) =
⎡ 1
∞
∞
∑ f (k)g(k)z −k = ∑ f (k) ⎢ 2π j ∫ ⎣
k=0
k=0
∞
⎛ z⎞ = G(z ) ∑ f (k) ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ 2π j C k=0 1
∫
−k
C
G(z )z k
dx x
dz ⎤ −k ⎥z z ⎦
pero ⎛ z⎞ ∞ ⎛ z⎞ F ⎜ ⎟ = ∑ f (k) ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ k=0 ⎝ x⎠
−k
entonces H (z ) =
1
⎛ z ⎞ dx
∫ G(x)F ⎜⎝ x ⎟⎠ x 2π j C
3.6 Transformada Z modificada Si aplicamos la transformada Z inversa a G(z), podemos obtener su equivalente en el tiempo discreto g (k), la cual nos proporciona su valor en cada instante k, k + 1, etc.; tal es el caso que se ha estudiado en las secciones anteriores. Ahora supongamos que deseamos obtener el valor de la función entre dos instantes de tiempo k y k + 1, la pregunta que nos haríamos es si esto se puede obtener. La respuesta la vamos a explorar con el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos la función exponencial discreta g(k) = a k , cuya transformada Z está dada por Z [ g(k)] = G(z ) =
z z −a
Ahora supongamos que calculamos la siguiente función, con el parámetro m ∈[0,1): g(k + m) = a k+m = a k a m = g 2 ( k, m )
Esta función g 2(k) es una función de dos parámetros, k y m. La transformada Z de g 2 ( k, m ) =está a ma k dada por
Z a k+m =
(a ) z k+m
k=0
k
= am
k=0
ak z
k
= am
z z a
= G2 ( z, m )
Si tomamos la transformada Z inversa a G2 ( z,m ), tenemos que g 2 ( k, m ) = a m a k ; suponiendo que a = exp(−1) para fines de ilustración, entonces
3.6
Transformada Z modificada
g 2 ( k, m ) = exp ( m )( 0.368)
k
g 2 ( k, 0 ) = ( 0.368)
k
g 2 ( k, 1) = ( 0.368)
k+1
= g 2 ( k + 1,0 )
Si variamos el parámetro m entre [0, 1) tenemos el comportamiento que se muestra en la figura 3.10.
Figura 3.10. Respuesta entre muestras.
De esta forma podemos obtener una aproximación a los valores de la respuesta entre dos instantes de tiempo consecutivos. A esta manera de calcular la transformada Z de la función g 2 (k + m) se le conoce como transformada Z modificada de la función g(k + m). DEFINICIÓN
Transformada
modificada
Si F (z ) = Z [ f (t )] = Z [ f ( kT )], entonces la transformada Z modificada de f (t) se define como:
((k + m )T ) = Z [ f (t + mT )] = f (( k + m )T ) z k k=0 = Z m [ f (t )] , m [ 0, 1)
F ( z, m ) = Z f
donde T es el periodo de muestreo. Si m = 0, entonces F (z, 0) = F (z ). EJEMPLO 3.25
Calcule la transformada Z modificada de la función f (t ) = t. SOLUCIÓN
Usando la definición anterior,
∞
F ( z, m ) = Z [ f (t + mT )] = ∑ ( k + m )T z −k
∞
= ∑ kT z k=0
−k
∞
k=0
+ ∑ mT z −k = k=0
Tz mTz , m ∈[0, 1) 2 + ( z − 1) z − 1
97
98
Capítulo 3
Transformada Z
En la tabla 3.7 presentamos pares de transformadas Z modificadas de las principales funciones usadas en el análisis de sistemas lineales discretos. EJEMPLO 3.26
Si f (t ) = exp ( jω t ), calcule su transformada Z modificada. SOLUCIÓN
A partir de la definición, entonces: ∞
F ( z,m ) = Z [ f (t + mT )] = ∑ exp ( jω ( k + m )T ) z −k k=0
∞
= exp ( jω mT ) ∑ exp ( jω kT ) z
−k
k=0
z exp ( jω mT ) = z − exp ( jωT )
Algunas propiedades importantes de la transformada Z modificada se presentan en la tabla 3.8. El lector interesado puede recurrir a las siguientes referencias para ver la demostración (Hsu y Meyer, 1968; Kuo, 2003). TABLA 3.7 Pares de transformada Z modificada y de Laplace de funciones continuas comunes en el análisis de sistemas lineales discretos
[0, 1)
X (z, m), m
X (s)
x(t)
1
1
δ (t )
1
2
e −nT s
δ (t − nT )
z −n
3
1 s
1(t ) o u(t )
z z −1
4
1 s2
t
mTz Tz + z − 1 ( z − 1)2
5
1 (s + a)
e −at
ze −amT z − e −aT
6
1 s (s + a)
7 8 9 10
1− e
ω
s2 + ω 2 s s2 + ω 2 ω
(s + a) + ω 2
2
s+a ( s + a )2 + ω 2
((
z 1 e
−at
)z + e 1)( z e )
amT
amT
e
aT
)
–aT
(z
sen ω t
z ( z sen ω mT + sen (1− m )ω T ) z 2 − 2z cos ω T + 1
cos ω t
z ( z cosmω T − cos (1− m )ω T ) z 2 − 2z cos ω T + 1
e −at sen ω t e −at cos ω t
(
ze −amT z sen ω mT + e −aT sen (1− m )ω T 2
z − 2ze
ze
−amT
−aT
cos ω T + e
( z cos mω T − e 2
z − 2ze
−aT
−aT
−2aT
cos (1− m )ω T
cos ω T + e −2aT
) )
3.7
Aplicaciones a la teoría de probabilidad
TABLA 3.8 Propiedades principales de la transformada Z modificada
Propiedades de la transformada Z modificada X (z, m), m
x(k)
[0, 1)
1
ax(k)
aX (z, m)
2
Ax1(k) + Bx 2 (k)
AX 1(z, m) + BX 2 (z, m)
3
x(k − n) x(k) = 0 si k < 0
z −n X (z, m)
4
x(k + 1)
zX (z, m) − zx(m)
5
x(k + 2)
z 2 X (z, m) − z 2 x(m) − zx(m + 1)
6
a k x(k)
⎛z ⎞ X ⎜ , m⎟ ⎝a ⎠
7
x(∞)
(
)
lím 1− z −1 X (z, m) z→1
y X(z, m) no tenga polos múltiples en z = 1 8
k
∑ x (i ) g ( k − i )
X ( z )G ( z, m )
i=0
3.7 Aplicaciones a la teoría de probabilidad Como un ejemplo más de aplicación de la transformada Z, veremos su uso en la teoría de probabilidades en el cálculo de las funciones generadoras de momentos para el caso de distribuciones discretas. Supongamos que tenemos una variable aleatoria discreta X con valores 1, 2, 3,… Sea P [ X = k ] = p(k) ∞
∑ p(k) = 1
(3.52)
k=0
Si definimos
P(z ) = Z [ P [ X = k ] ] = Z [ p(k)]
= p(0) + p(1)z −1 + p(2)z −2 ++ p(n)z −n +
(3.53)
A la transformada P(z) se le conoce como la función generadora de momentos de la variable aleatoria X. Si tomamos el límite de P(z) cuando z tiende a ∞, lím P(z ) = p(0)
z→∞ –1
Si derivamos a P(z) con respecto a z y tomamos el mismo límite, obtenemos
dP(z ) −3 ⎡ ++ np(n)z −n−1 +⎤⎦ = 2 p(1) −1 = lím ⎣ p(1) + 2 p(2)z z→∞ dz z→∞ lím
99
100 Capítulo 3
Transformada Z
En general, podemos continuar este proceso, y obtenemos 1 d k P(z ) k z→∞ k ! d z −1
p(k) = lím
( )
EJEMPLO 3.27
Considere el caso de la tirada de un dado. Encuentre la función generadora de momentos de esta variable aleatoria asociada a la tirada de un dado. SOLUCIÓN
Con base en la definición anterior de función generadora de momentos, en el caso de un dado 1 con las mismas probabilidades de que salga una cara del dado, tenemos que p(k) = , por lo que 6 P(z ) = p(0) + p(1)z −1 + p(2)z −2 ++ p(n)z −n + = p(1)z −1 + p(2)z −2 ++ p(6)z −6 z −1 + z −2 ++ z −6 = 6 EJEMPLO 3.28
Encuentre la media de la distribución de Poisson, utilizando la función generadora de momentos de esta distribución y aplicando la transformada Z. SOLUCIÓN
La densidad de probabilidad de la distribución de Poisson es
λk k! Por lo tanto, la función generadora de momentos está dada por p(k) = e − λ
∞
P(z ) = ∑ e − λ k=0
λ
k
k!
z −k
2 −2 3 −3 ⎡ ⎤ λ z λ z = e − λ ⎢1+ λ z −1 + + +⎥ 2! 3! ⎣ ⎦
=e
−λ
e
⎛ λ⎞ ⎝⎜ z ⎠⎟
⎛ λ (1− z ) ⎞ = exp ⎜ ⎝ z ⎟⎠
Ya con esta función generadora de momentos, podemos calcular la media de la distribución como sigue:
µ = E [X ] =
∞
∑ k p(k)
k=0
Mediante las propiedades de la transformada Z, tenemos que si f (k) = k p(k), entonces la media se puede calcular como
µ = E [X ] =
∞
∑ k p(k)
k=0
= Z [ kp(k)] z =1
Nota histórica. Relación de la transformada Z con otras transformadas 101
3.8
Por lo tanto, dP(z ) d ⎡ ⎛ λ (1− z ) ⎞ ⎤ = − ⎢ exp ⎜ ⎟ dz dz ⎣ ⎝ z ⎠ ⎥⎦ λ ⎛ λ (1− z ) ⎞ = 2 exp ⎜ ⎝ z ⎟⎠ z
Z [ kp(k)] = −
así: µ = λ , si z = 1.
3.8 Nota histórica. Relación de la transformada Z
con otras transformadas
Existe una relación de otras transformadas usadas en distintas áreas de matemáticas con la transformada Z, como se ha visto en este capítulo (Jury, 1964). A continuación presentamos algunos de estos casos. a) Transformada integral de Laplace-Stieljes (Apostol, 1974). Esta transformada se define como
Ls [ f (t )] =
∫
∞
0
f (t )e − st d α (t )
donde α (t ) es la función escalonada que se presenta en la figura 3.11. En el caso en que α (t ) = t se tiene la transformada de Laplace que todos conocemos. Para el caso de la función escalonada, la transformada integral de Laplace-Stieljes es
Ls [ f (t )] =
∫
∞
0
f (t )e − st d α (t ) =
∞
∑ f (nT )e −nsT
k=0
Si z = e sT tenemos la transformada Z.
2T
α(t)
T
–2T –T
T –T
t
2T
–2T Figura 3.11 Función escalonada.
b) Transformada de las series de Dirichlet. Esta transformada fue propuesta por T. Fort como sigue: ∞
F (s) = D [ f (t )] = ∑ m − st f (t ) t =0
donde m > 1, s > 1 y t un entero. Si m = e y t = nT, tenemos la transformada Z. c) Transformada discreta de Laplace. Esta transformada se define así:
∞
F * (s) = D [ f (k)] = ∑ f (k)e −ks k=0
102 Capítulo 3
Transformada Z
La transformada F *(s) se ve como la transformada de Laplace de la función muestreada f * (t) de una función continua f (t), que tiene su transformada de Laplace F(s) y: ∞
f ∗ (t ) = f (t )I (t ) = ∑ f (kT )δ (t − kT )
k=0
s
Si z = e se tiene la transformada Z y suponiendo que se considera la base de tiempo estandarizada al periodo de muestreo T. Este tipo de transformada la utilizó Tsypkin. d ) Transformada geométrica ordinaria (Jauffred, 1983). Esta transformada se ha usado en el área de la teoría de las probabilidades como una función generadora de momentos para distribuciones de probabilidad de tipo discreto. La expresión de esta transformada está dada por: ∞
G(s) = T g [ f (k)] = ∑ f (k)s k
k=0
En este caso, si z = s −1 obtenemos la transformada Z. Transformada Z
tiene
están basados en
definición
se emplea en
tiene
análisis de sistemas lineales discretos
propiedades diversas aplicados a
además, tiene
señales discretas fundamentales
transformados en se representan por
problema algebraico
propiedades
ecuaciones de recurrencia produce
aplicado a
sistemas continuos discretizados se representan por
función de transferencia está constituida por
entre ellas polos
por medio de transformada Z inversa
ceros genera
operador lineal convergencia
función analítica
solución de la ecuación de recurrencia
Figura 3.12 Mapa conceptual de la transformada Z.
tiene métodos diversos de inversión
3.10 Problemas 103
3.9 RESUMEN
En el presente capítulo presentamos las condiciones generales para la existencia de la transformada Z de una función discreta, así como las propiedades más comunes que se aplican en el estudio de sistemas lineales. Asimismo, calculamos las transformadas Z de las funciones discretas elementales utilizadas en el estudio de estos sistemas. Establecimos cuatro métodos para el cálculo de la transformada Z inversa, de manera que aplicamos estos métodos para la resolución de ecuaciones de recurrencia lineales. La figura 3.12 ilustra el mapa conceptual de este capítulo.
3.10 PROBLEMAS
P.3.1 Determine si las siguientes funciones discretas tienen transformada Z:
a) f (k) = k n b) f (k) = exp(k) c ) x(n) = nn
( )
d ) y(k) = ln k 2
P3.2 Calcule la transformada Z de X (z ), Z [ x ( 2k )] , Z [ x ( 3k − 1)], donde x(k) tiene la siguiente secuencia: k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x(k)
1
–2
–3
–1
0
2
4
1
0
–1
P.3.3 Calcule la transformada Z de las siguientes funciones discretas: a) f (k) = 5 + ( 0.3)
k
(
b) f (k) = 8 0.9k cos 2k
(
)
)
c) x(n) = n 2 + n + 1 0.7 n d ) y(k) = 2exp ( 0.5k ) e) y(i) = 3r(2i 1), donde r(i) es la función rampa discreta unitaria
P.3.4 Calcule la transformada Z de la convolución de las señales f (k) = y(k)∗ h(k) para los siguientes casos: k
a) u(k) = 1(k) y h(k) =
b) u(k) =
k
y h(k) =
c) u(k) = (k) y h(k) =
k k
d ) u(k) = 3sen(0.4k) y h(k) =
k
P.3.5 Determine la transformada Z, de las siguientes funciones mediante el uso de propiedades:
104 Capítulo 3
Transformada Z
a)
b) Δ cos ω kz z i
f (i)
0
1
1
2
2
3
3
2
4
1
>5
0
donde Δ cos ω k = [ cos ω (k + 1) − cos ω k ] es la primera diferencia definida como Δf (k) = f (k + 1) − f (k)
c) f (i + 3) donde f (i) está dada por la función del inciso a).
k
d ) f (t ) = 3 + e −2 t
e) g(k) = ∑ f (i)
f ) f (k) = a k cos k ω t
g) a 2k f (k)
h) k f (k)
i=0
i ) G(s) =
2 , usando un periodo s ( s + 2 )( s + 3)
k
j ) f (k) = ∑ cos ( 2i ) i=0
de muestreo T = 0.5 s.
k
k) x(k) = ∑ i sen ( 0.8i ) i=0
m) f (n) =
( lnb )n n!
l ) G(s) =
3s + 1 , suponiendo un tiempo s+2
de muestreo de T = 0.2 s.
1 n) x(k) = ,k > 0 k
P.3.6 Una función discreta f (k) es una función periódica si
f (k ) = f (k + α ) donde a es el periodo de la función. Demuestre que la transformada Z de una función discreta periódica está dada por la siguiente expresión:
⎤ 1 ⎡α −1 F (z ) = ⎢ ∑ f (i ) z −i ⎥ −α ⎣ i=0 ⎦ 1− z
3.10 Problemas 105
P.3.7 Calcule la transformada Z de las siguientes funciones periódicas:
2 4 –2
0 1
2
5
6
2
7
1
k
3
0
0
1
2
a)
3
4
5
k
b)
1 f (k)
0 0
1
2
3
4
5
k
6
7
8
9
10
11 12
c)
P.3.8 Función de correlación de dos señales. Si f (k) y g (k) son dos señales, la función de correlación de f y g se define como r fg ( k ) =
n=
f ( n ) g ( n k ), k = 0, ± 1, ± 2,…
Demuestre que la transformada Z de la función de correlación está dada por:
( )
Z ⎡⎣r fg ( k ) ⎤⎦ = F ( z )G z −1
donde F ( z ) = Z [ f ( k )] y G ( z ) = Z [ g ( k )]. P.3.9 Para cada una de las siguientes transformadas Z, calcule la función f (k) de manera que F (z ) = Z [ f (k)], usando fracciones parciales, división larga y empleando Matlab. F (z ) =
F (z ) =
5z z2 +1 b)
5z z 2 − 0.64 a)
3( z + 0.8) ( z − 0.6 )( z − 0.9 )2
c)
F (z ) =
F (z ) =
2z −1
(1− z )(1− 1.3z −1
d)
−1
+ 0.4z −2
)
106 Capítulo 3
Transformada Z
P.3.10 Calcule la transformada Z inversa de las siguientes funciones: F (z ) =
3( z + 0.8) z 2 ( z − 0.9 )
F (z ) =
a)
2 ( z + 1) z ( z − 0.4 ) 5
b)
−1
F (z ) = 1+ z − 3z
(
−2
F (z ) = ln 1− 0.2z −1
c)
)
d)
P.3.11 Solución de ecuaciones de recurrencia. Proporcione las soluciones de las ecuaciones siguientes, usando la transformada Z: a) y(k + 2) − y(k + 1) + 0.16 y(k) = 0 , con las condiciones iniciales y(0) = 0, y(1) = 1. b) y(k + 1) − 0.8 y(k) = 0, con y(0) = 0.3. c) y(k + 2) − y(k + 1) + y(k) = 0, dé las dos soluciones generales de esta ecuación. d ) y(k + 1) − 2.1y(k) = 0 con y(0) = − 1.0. e) y(k + 2) − 1.2 y(k + 1) + y(k) = 0, dé las dos soluciones generales de esta ecuación. f ) y(k + 2) − 0.4 y(k + 1) + 0.2 y(k) = 0, dé las dos soluciones generales de esta ecuación. P.3.12 Encuentre la respuesta en el tiempo, usando la transformada Z, del siguiente sistema dinámico, suponiendo que y(0) = 0, y(1) = 1: y(k + 2) − 1.5 y(k + 1) + 0.56 y(k) = u(k) ⎧ 1, k = 0,2,4,… ⎪ u(k) = ⎨ ⎪ −1 k = 1,3,5,7… ⎩
P.3.13 Una ecuación de recurrencia que representa un filtro pasabajas está dada por y(k) = 0.1u(k) + 0.9 y(k − 1)
Suponga que las condiciones iniciales son cero y que la entrada u(k) está dada por u(k) = e jkωT . a) Calcule la respuesta y (k) para esta entrada, usando la transformada Z. b) Desprecie los términos diferentes a e jkωT , es decir, desprecie el transitorio y calcule la magnitud de la salida para los valores de wT = {0, p/6, p/4, p/3, p/2} y comente sobre estas magnitudes.
P.3.14 El siguiente diagrama representa un circuito en escalera basado en resistencias. Obtenga la ecuación de recurrencia (aplicando la ley de Kirchhoff de nodos) que describe este circuito y proporcione las condiciones de frontera que se deben cumplir. Obtenga la solución usando la transformada Z. R V
+ _
R
1
R
R
2
R
R
R
n–1
R
R
n
R
3.10 Problemas 107
P.3.15 Compruebe la propiedad de la transformada Z de la convolución de dos señales discretas: g(k) = 0.4k ; u(k) = 0.8k
a) Calcule G(z) y U(z) b) Calcule la convolución g (k)*u(k) = y (k) y su transformada Z. c) Calcule Y (z) y compare con el resultado del paso 1. P.3.16 A partir de la transformada Z de la distribución de Poisson, calcule las probabilidades p(0), p(1), p(2) y p(k). Compruebe sus resultados con los obtenidos en la teoría de probabilidades. P.3.17 La distribución uniforme en probabilidad está dada por
1 , i = 0, 1, 2,…, n n +1 Calcule su transformada Z y utilícela para calcular las probabilidades p(i). p(i) =
∞
1 1 −k 1 ∞ −k 1 z = ∑z = n + 1 k=0 n + 1 1− z −1 k=0 n + 1
P(z ) = ∑
Las probabilidades son 1 n +1
p(0) = lím P(z ) =
z→∞
Para p(1), tenemos que dP(z ) 1 d 1− z −1 −1 = dz n + 1 dz −1
(
1− z ) = ( n + 1)
−1 −2
−1
Por lo tanto, dP(z ) 1 1 lím −1 = z→∞ dz n + 1 z→∞ 1− z −1
p(1) = lím
(
)
−2
=
1 n +1
P.3.18 Considere la distribución de probabilidad:
f (k) =
2k , k = 0,1,2,…,n n ( n − 1)
Calcule su transformada Z y compruebe las probabilidades para diversos valores de k, z −1 2 usando esta transformada. Resp. F (z ) = . n ( n − 1) 1− z −1 2
(
P.3.19 Calcule F(z, 1) a partir de la definición de F(z, m).
)
P.3.20 Calcule la transformada Z modificada de las funciones sen t y cos t, usando el resultado anterior. P.3.21 Calcule la transformada Z modificada de las funciones sen t y cos t. P.3.22 Calcule la transformada Z modificada de las funciones e −at y 1− e −at aplicando la definición. P.3.23 Haga su propio mapa conceptual del capítulo, enriqueciéndolo de acuerdo con los distintos puntos tratados; apóyese en el mapa de la figura 3.12.
APÉNDICE
3.1 Identidades de sumas parciales Como ayuda para calcular las transformadas Z de diversas funciones, se presenta un resumen de algunas sumas parciales. 1− r n+1 ,r ≠ 1 (Serie geométrica) 1− r i=0 n n ( n + 1) b) ∑ i = 2 i=1 n r n n n+1 , r ≠1 c) ∑ ir i = 2 1− r − nr + nr (1− r ) i=0 n r ⎡(1− r ) 1− r n − 2 (1− r ) nr n − (1− r )2 n 2r n ⎤ ,r ≠ 1 d ) ∑ i 2r i = ⎦ (1− r )3 ⎣ i=0 n
a) ∑ r i =
(
)
(
e) exp(x) = 1+ x +
)
∞ xk x2 x3 + + = ∑ 2! 3! k=0 k !
3.2 Prueba de las condiciones de Cauchy-Riemann Con el fin de ilustrar las condiciones para que una función f (z ) sea analítica, la ejemplificaremos con la función: z f (z ) = z −a Para ello, suponemos que z = x + iy, por lo que f (z ) queda expresada como sigue:
z x + jy x(x − a)+ y2 ay = = −j 2 2 z − a ( x − a ) + jy ( x − a ) + y ( x − a )2 + y 2 = u ( x, y ) + jv(x, y)
f (z ) =
de manera que f (z) está formada por una parte real u ( x, y ) y una imaginaria v ( x, y ). Las condiciones para que una función sea analítica son ∂u ∂v ∂u ∂v = , =− ∂x ∂ y ∂ y ∂x
Al calcular estas derivadas: ∂u −a ( x − a ) + ay 2 ∂u −2ay ( x − a ) = = 2 ; 2 ∂x ⎡( x − a ) + y 2 ⎤ ∂ y ⎡( x − a )2 + y 2 ⎤ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 ∂v 2ay ( x − a ) ∂v −a ( x − a ) + ay 2 = ; = 2 ∂x ⎡( x − a )2 + y 2 ⎤ ∂ y ⎡( x − a )2 + y 2 ⎤ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2
de donde vemos que sí se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.
Bibliografía 109
Bibliografía
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Jury, E.I. (1964). Theory and Application of the Z-Transform Method. Nueva York, John Wiley and Sons, Inc. Kuo, B. (2003). Sistemas de Control Digital. México, Grupo Editorial Patria Cultural. Proakis, J.G. y Manolakis, D.G. (2007). Tratamiento digital de señales. 4a. ed. Madrid, Pearson Educación. Vich, R. (1987). Z Transform Theory and Applications. Dordrecht, D. Reidel Pub. Co.
